《数值计算》课程教学课件（讲稿）第4章 数值积分与数值微分（4/4）

ZAJ(x) f(x)p(x)dx ~定理插值型求积公式的节点aSxo<x<...<x,≤b是高斯点的究分必要条件是以这些节点为零点的多项式0nti(x) =(x-x)(x-x)...(x-x,)与任何次数不超过n的多项式P(x)带权p(x)正交，即( P(x)n+1(x)p(x)dx(x) = 0定理表明在[a，b]|上带权p(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式的高斯点，有了求积节点xk(k=0，l，，n)再利用前面的方程组，则得到一组关于求积系数Ao，Ai，，A，的线性方程组．解此方程组则得Ak(k=0，1，…，n)也可直接由xo，Xi，…，xn的插值多项式求出求积系数上页Ar(k = 0, 1, ...,n).下页返圆

上页 下页 返回 与任何次数不超过n的多项式P(x)带权 (x) 正交，即 ( ) ( )( ) ( ) n1 x  x  x0 x  x1  x  xn ( ) 1 ( ) ( )d ( )  0   b a P x n x  x x x 再利用前面的方程组，则得到一组关于求积系数A0，A1，. ，An 的线性方程组．解此方程组则得Ak (k＝0，1，.，n) 定理 插值型求积公式    n k k k b a f x x x A f x 0 ( )( )d ( ) 的节点 a≤x0＜xl＜.＜xn≤b是高斯点的充分必要条件是以 这些节点为零点的多项式 定理表明在[a，b]上带权 (x)的n+1次正交多项式的零点就 是求积公式的高斯点， 有了求积节点 xk (k＝0，l，.，n)， 也可直接由x0，x1，.，xn 的插值多项式求出求积系数 Ak (k = 0, 1, .,n)

高斯求积公式的余项利用f(x)在节点xi(k=0，1，……，n)的埃尔米特插值H2n+1(x), H2n+(x)= f(x), H2n+1(x)= f'(x), k=0,1,*,n.f(2n+2) (E)于是0(x)f(x) = H2n+1(x)+(2n+ 2)!两端乘p(x)，并由a到b积分，则得I = [" f(x)p(x)dx =f" H2n+1(x)p(x)dx + R,[F)其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立，故--0.n+1(x)p(x)dx.k=0故由积分中值定理得余项为由于 のn+(x)p(x)≥0f(2n+2)(n)上页0n+i(x)p(x)dx .R,F]=下页(2n + 2)!返圆

上页 下页 返回 高斯求积公式的余项 故由积分中值定理得余项为 ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0, 1, , . H2n1 xk  f xk H2  n1 xk  f  xk k   n ( ) (2 2)! ( ) ( ) ( ) 2 1 (2 2) 2 1 x n f f x H x n n n                  b a n n n k n k k x x x n f R f I A f x ( ) ( )d . (2 2) ! ( ) [ ] ( ) 2 1 (2 2) 0    ( ) ( ) 0 2 n1 x  x       b a n n n x x x n f R f ( ) ( )d . (2 2)! ( ) [ ] 2 1 (2 2)          b a n n b a I f (x) (x)dx H (x) (x)dx R [ f ]  2 1  利用 f (x)在节点xk (k = 0，1，.，n)的埃尔米特插值H2n+1 (x)， 于是 两端乘 (x)，并由a到b积分，则得 其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立，故 由于

高斯求积公式的稳定性与收敛性定理高斯求积公式的求积系数A,(k=0，1，….，n)全是正的。推论高斯求积公式是稳定的，定理设f(x)EC[a，b]，则高斯求积公式是收敛的，即limEAtf(x)= f" f(x)p(x)dx.n->ok=0上页下页返回

上页 下页 返回 高斯求积公式的稳定性与收敛性 定理 高斯求积公式的求积系数Ak (k＝0，1，.，n)全是 正的． 定理 设 f (x)∈C [a，b]，则高斯求积公式是收敛的，即      n k b a k k n A f x f x x x 0 lim ( ) ( )( )d . 推论 高斯求积公式是稳定的

二、高斯一勒让德求积公式dn[x? -1]"]勒让德多项式 P,(x)三12"n! dx"是区间[-1，1]上带权函数p(x)=1的正交多项式，若以勒让德多项式的零点为高斯点，则求积公式Lf(x)dx ~ZA,f(xt)k=称为高斯一勒让德求积公式若取P1（）=a的零点。=0做节点构造求积公式f(α)dr~Aof(o).令它对f(r)=1准确成立，即可定出A。=2.这样构造出的一点上页高斯-勒让德求积公式是中矩形公式。下页返圆

上页 下页 返回 二、高斯—勒让德求积公式 称为高斯—勒让德求积公式.   n n n n n x n x P x ( 1) d d 2 ! 1 ( ) 2       n k k xk f x x A f 0 1 1 ( )d ( ) 勒让德多项式 是区间[-1，1]上带权函数  (x) = 1的正交多项式， 若以勒让德多项式的零点为高斯点，则求积公式

1（3—1)的两个零点±再取P（x）一构造求积公式V3(a)da~Aof(一)+A()令它对f（）一1，都准确成立，有A+A=2;A（）+A（）由此解出A。一A，一1，从而得到两点高斯-勒让德求积公式『,(α)d~)+(言)三点高斯-勒让德公式的形式是上页, ()dz~号(-乎)+(0)+号(乎),下页返圆

上页 下页 返回