《数值计算》课程教学课件（讲稿）第9章 矩阵特征值问题的数值解法

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第九章矩阵特征值问题的数值解法8 1 问题的提出82 幂法83反幂法上页下页返回

上页 下页 返回 第九章 矩阵特征值问题的数值解法 §1 问题的提出 §2 幂法 §3 反幂法

81 问题的提出工程中有许多振动问题，可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。例如弦振动问题，满足一维波动方程's-20's2=f(x,t), 0≤x≤l,t≥0ar2Ot2当 f(x,t)=0 日时，可用分离变量法转化为二阶常微分方程的特征值问题u"(x)+Zu(x)=0, 0≤x≤lu(0) = u()= 0再用数值方法，转化为矩阵特征值问题AU=U. U±0上页下页返园

上页 下页 返回 §1 问题的提出 工程中有许多振动问题，可转化为求矩阵特征值与特征 向量的问题。 例如弦振动问题， 满足一维波动方程 2 2 2 2 2 ( , ), 0 , 0 s s a f x t x l t t x          当 f (x,t)  0 时， 可用分离变量法转化为 二阶常微分方程的特征值问题 ( ) ( ) 0, 0 (0) ( ) 0 u x u x x l u u l            再用数值方法，转化为矩阵特征值问题 AU  U, U  0

下面看一般的矩阵特征值问题设A=(a）是n阶方阵，是一个参数1、特征矩阵a-a-a12ain-a22a21-a2nZE-A=2-ann-anl-an22、特征多项式a-ani-a12ain-a22-a21a2nf(a)=|E-A|=-ann-anl-an2上页= a" -(au +...+ann)an-- +...+(-1)"A下页返回

上页 下页 返回                          n n nn n n a a a a a a a a a E A        1 2 21 22 2 11 12 1  1、特征矩阵 2、特征多项式 设 ( ) 是n阶方阵， 是一个参数. A  aij  n n nn n n a a a a a a a a a f E A                     1 2 21 22 2 11 12 1 ( )  a a A n n nn n ( ) ( 1) 1   11           下面看一般的矩阵特征值问题

3、特征方程2E-A=04、特征值特征方程的根称为A的特征根或特征值，用2(A)表示A的所有特征值的集合。注意：（（1)实矩阵的特征根不一定是实数，且复数根是共轭出现的(2）一般n阶矩阵有n个特征根5、特征向量设α是A的特征值，则（.E－A)x=0的任意非零解向量称为A对应于特征值2。的一上页个特征向量，简称为A的一个特征向量下页返圆

上页 下页 返回 3、特征方程 E  A  0 4、特征值 特征方程的根称为A的特征根或特征值，用 表示A的所有特征值的集合。 (A) 注意： (1)实矩阵的特征根不一定是实数，且 复数 根是共轭出现的. (2) 一般n阶矩阵有n个特征根. 5、特征向量 的任意非零解向量称为A对应于特征值 的一 个特征向量，简称为A的一个特征向量.  0 设  0 是A的特征值，则 (0 E  A)x  0