m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园
上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社 参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社
第四章数值积分与数值微分第一节问题的提出第二节机械求积法和代数精度第三节 牛顿一柯特斯求积公式第四节复化求积公式第五节龙贝格求积公式第六节#高斯求积公式第七节数值微分上页下页返园
上页 下页 返回 第四章 数值积分与数值微分 第一节 问题的提出 第三节 牛顿—柯特斯求积公式 第四节 复化求积公式 第五节 龙贝格求积公式 第六节 高斯求积公式 第七节 数值微分 第二节 机械求积法和代数精度
85龙贝格求积公式一、梯形法的递推化上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的，实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止。设将求积区间[a，b分成n等分，则一共有+1个分点，按梯形公式计算积分值T，需要提供+1个函数值上页：如果将求积区间再二分一次，则分点增至2+1个，我下页们将二分前后两个积分值联系起来加以考察返园
上页 下页 返回 一、梯形法的递推化 上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的， 但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太 大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事 先给出一个恰当的步长又往往是困难的． 设将求积区间[a，b]分成n等分，则一共有n+1个分 点，按梯形公式计算积分值Tn，需要提供n+1个函数值 ．如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我 们将二分前后两个积分值联系起来加以考察． §5 龙贝格求积公式 实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐 次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进 行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止．
注意到每个子区间[xk，x+i]经过二分只增加了一个分点Xk+1/2(x+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为≤[f(α)+2f(r+)+f(r++1).6Q代表二分前的步长.将每个子区间上的积分值相加得这里h=nSh-2T, =4Lr(x)+ f(x1)]+f(xk+1/2)k=0k=0T+2f(xk+1/2)k=0h1T.+[a+(2k+1)-2上页下页返园
上页 下页 返回 注意到每个子区间[xk，xk+1 ]经过二分只增加了一个分点 xk+1/2＝( xk+xk+1 )/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分 值为 1 0 1 2 1 0 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) 4 n k k n k n k k f x h f x f x h T 1 0 1 2 ( ) 2 2 1 n k n xk f h T 1 0 2 (2 1) 2 2 1 n k n h f a k h T
sinxdx例7计算积分值sinx先在[0,1]上应用梯形公式，有解 对f(x)=xT, = IF(0) + f()= 0.9207355将区间二等分，求出()=0.9588510代入递推公式，有T,+)=0.9397933进一步二分求积区间，求出新分点上的函数值f()= 0.9896158 f() = 0.9088516上页代入递推公式，有下页T++1=0.9445135返园
上页 下页 返回 . sin 7 1 0 d x x x I 例 计算积分值 ＝ [ (0) (1) ] 0.9207355. 2 1 [0,1] sin ( ) 1 T f f x x 解 对f x 先 在 上应用梯形公式，有 ) 0.9397933. 2 1 ( 2 1 2 1 ) 0.9588510, 2 1 ( 2 1 T T f f ＝ ＋ 将区间二等分，求出 代入递推公式，有 ) ] 0.9445135. 4 3 ) ( 4 1 [ ( 4 1 2 1 ) 0.9088516, 4 3 ) 0.9896158, ( 4 1 ( 4 2 T T f f f f ＝ ＋ 代入递推公式，有 进一步二分求积区间，求出新分点上的函数值