《数值计算》课程教学课件（讲稿）第5章 线性方程组的直接解法（2/2）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

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第五章线性方程组的直接解法81问题的提出S2高斯消去法S3矩阵的三角分解法84三对角方程组的解法S5向量和矩阵的范数86方程组的性态与误差分析上页下页返圆

上页 下页 返回 §1 问题的提出 第五章 线性方程组的直接解法 §3 矩阵的三角分解法 §4 三对角方程组的解法 §5 向量和矩阵的范数 §6 方程组的性态与误差分析 §2 高斯消去法

85向量和矩阵的范数二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度高维向量的"长度"能否定义呢？"范数"是对向量和矩阵的一种度量，实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广数域：数的集合，对加法和乘法封闭线性空间：可简化为向量的集合，对向量的加法和数量乘法封闭，上页也称为向量空间下页返回

上页 下页 返回 "范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广 数域: 数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的"长度"能否定义呢? 也称为向量空间 §5 向量和矩阵的范数

>向量范数定义Rn空间的向量范数I·Il对任意x,E R"满足下列条件：(1)Ⅱx≥0;Ⅱ=0 台=0（正定性)(2) lαx=α}Ixll 对任意αC (齐次性)(3）+≤（三角不等式）常用向量范数：x=zxZIxxXXiliml xIl,= I x Il。注：XmaxXiISiSn上页下页返圆

上页 下页 返回  向量范数 定义 Rn空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件： n x y  R   , (1) || || 0 ; || || 0 0     x  x   x  （正定性) (2) || x || | | || x ||       对任意  C (齐次性) (3) || x y || || x || || y ||        （三角不等式) 常用向量范数：    n i x xi 1 1 || || | |    n i i x x 1 2 2 || || | |  p n i p x p x i 1 / 1 || ||   | |   || || max | | 1 i i n x x      注：   lim|| x ||  || x || p p  

例1.求下列向量的各种常用范数x =(1,4,3,-1)1解：x,=x|+x2|+x3|+x4=9Ix=([x +|x2 +x3 +x4= /27 = 3/3x; = 4xl = max1<i<4上页下页返回

上页 下页 返回 例1.求下列向量的各种常用范数 T x  (1,4,3,1) 解: 1 x  x1  x2  x3  x4  9 2 x 2 2 1 4 2 3 2 2 2 1  ( x  x  x  x )  27  3 3  x i i x 1 4 max     4