《数值计算》课程教学课件（讲稿）第6章 线性方程组的迭代解法（1/2）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

复习：向量和矩阵范数》向量范数定义Rn空间的向量范数·对任意x,eR"满足下列条件：≥0；=0台=0（正定性)(1)(2) lαx=α}Il 对任意αC (齐次性)(3)+≤（三角不等式)常用向量范数：1x=zix,Ilxll=maxX川x，ISiSni=1上页下页返圆

上页 下页 返回  向量范数 定义 Rn空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件： n x y  R   , (1) || || 0 ; || || 0 0     x  x   x  （正定性) (2) || x || | | || x ||       对任意  C (齐次性) (3) || x y || || x || || y ||        （三角不等式) 常用向量范数：    n i x xi 1 1 || || | |    n i i x x 1 2 2 || || | |  || || max | | 1 i i n x x      复习： 向量和矩阵范数

√矩阵范数定义Rnxn空间的矩阵范数I·对任意A,BeR"满足：(I) ⅡAI≥0;lA=0 台A=0（正定性)(2) αAll=|α|·IlAll 对任意αeC (齐次性)(3)I A+B≤Il A+IBI（三角不等式)(4)*AB≤AⅡ·B（相容)上页下页返圆

上页 下页 返回 定义 Rnn空间的矩阵范数|| · || 对任意 满足： n n A B R  ,  (1) || A||  0; || A||  0  A 0 （正定性) (2) || A|| | ||| A|| 对任意  C (齐次性) (3) || A B|| || A||  || B|| （三角不等式) (4)* || AB ||  || A || · || B || （相容）  矩阵范数

常用矩阵范数：算子范数由向量范数·lp导出关于矩阵AERnxn的p范数：则II Ax I , IABII,≤II A II,IIBII, = max l Ax Il,pIl All,= maxX+0I1x I,[风,=1II Ax ,≤II A, II xIp之特别有：II A Il..= maxail（行和范数）l≤isn-II A Il, = maxa;（列和范数）1≤jSni=lIAllz=amax(ATA)（谱范数）上页下页返圆

上页 下页 返回 常用矩阵范数： 算子范数 由向量范数|| · ||p 导出关于矩阵 A  Rnn 的 p 范数: p x p p p Ax x Ax A p x max || || || || || || || || max 0 | | | | 1           则 p p p p p p Ax A x AB A B || || || || || || || || || || || ||     特别有：      n j A aij i n 1 || || max | | 1 （行和范数）     n i A aij j n 1 1 || || max | | 1 （列和范数） || || ( ) A 2 max A A T   （谱范数 ）

>谱半径定义矩阵A的谱半径记为p(A)= max1 2, l, 其中a,为1SiSnA的特征根。定理对任意算子范数·有 p(A)≤I AI定理若A对称， 则有 Il AIl2=P(A)上页下页返回

上页 下页 返回 定理 对任意算子范数|| · || 有 (A) || A|| 定理 若A对称，则有 || || ( ) A 2   A  谱半径 定义 矩阵A的谱半径记为  (A) = ，其中i为 A 的特征根。 max | | 1 i i n   