m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园
上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社 参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社
第三章拟合与逼近第一节问题的提出第二节曲线拟合的最小二乘法第三节最佳平方逼近上页下页返园
上页 下页 返回 第三章 拟合与逼近 第一节 问题的提出 第二节 曲线拟合的最小二乘法 第三节 最佳平方逼近
83最佳平方逼近五、最佳平方逼近及其计算1.平方逼近采用 Il f(x)- p(x) 呢= (p(x)[f(x)-p(x)}°dx作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。2.函数系的线性关系若函数P(x),(x),",,(x)，在区间[a,b]上连续如果关系式 aop(x)+a,p(x)+a2P2(x)+...+anP,(x)=0当且仅当 a=a =a,=…=an=0 时才成立,则称函数P(x),i(x),,P(x）在[a,b]上是线性无关的,上页否则称线性相关。下页返圆
上页 下页 返回 五、最佳平方逼近及其计算 §3 最佳平方逼近 1.平方逼近 采用 f x p x x f x p x dx b a 2 2 2 || ( ) ( )|| ( )[ ( ) ( )] 作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼 近或均方逼近。 2．函数系的线性关系 若函数 0 (x),1 (x), ,n (x) ,在区间[a, b]上连续, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 如果关系式 a0 0 x a1 1 x a2 2 x an n x 0 当且仅当 a0 a1 a2 an 时才成立, ( ), ( ), , ( ) 0 1 x x x 则称函数 n 在[a, b]上是线性无关的, 否则称线性相关
定理连续函数在[a,bl上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式G,±0，其中(Po,P)(Po,P)...(Po, Pn)(P1,Po)(P1,P)... (Pi,Pn)G, =G,(Po,Pi,..",Pn)=(Pn, Po) (Pn,P)... (Pn,Pn)3．广义多项式设函数系?(x),?.(x),..,(x,...线性无关则其有限项的线性组合nZS(x)=a;p;(x)上页j=0称为广义多项式下页返园
上页 下页 返回 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 n n n n n n Gn Gn n 定理 连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是 它们的克莱姆(Gram)行列式Gn 0， 其中 3．广义多项式 设函数系 0 (x),1 (x), ,n (x), 线性无关， ( ) ( ) 0 S x a j x n j j 则其有限项的线性组合 称为广义多项式
4.最佳平方逼近定义对于给定的函数f(x)EC[a,b]，若n次多项式1S(a)=2aixij=0满足关系式('[f(x) - S*(x)'dx = min ("[f(x)- S(x)}°dxs(x)P则称S*(x)为f(x)在区间[a,b]上的n次最佳平方逼近多项式。更一般的，有下面的定义：定义 对于给定的函数 f(x)EC[a,b] 如果存在S*(x) e Φ = Span(o, Pi, *" n)使, p(x)[f(x) -S*(x)° dx = min J p(x)[f(x) - S(x)}"dxS(x)EΦ上页则称S*(x)为f(x)在区间[a,b]上的最佳平方逼近函数。下页返圆
上页 下页 返回 4.最佳平方逼近 定义 对于给定的函数 f (x)C[a, b] ， j n j S x aj x 0 * * ( ) 满足关系式 f x S x dx f x S x dx b s x P a b a n 2 ( ) * 2 [ ( ) ( )] min [ ( ) ( )] 则称S * (x)为f(x)在区间[a, b]上的n次最佳平方逼近多项式。 若n 次多项式 定义 对于给定的函数 f (x)C[a, b] 如果存在 ( ) { , , , } 0 1 * S x Span n 使 x f x S x dx x f x S x dx b S x a b a 2 ( ) * 2 ( )[ ( ) ( )] min ( )[ ( ) ( )] 则称S * (x)为f (x)在区间[a, b]上的最佳平方逼近函数。 更一般的，有下面的定义：