《概率论与数理统计》课程教学资源：第七章习题课

第七章习题课

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问题1极大似然估计具有不变性矩估计 是否也具有? 答否 例如X服从反射正态分布其pd;为 21 x>0 f(x)=\zo 口现用矩法分别对a和2作估计

问题 1 极大似然估计具有不变性, 矩估计 是否也具有？ 答 否. 例如 X 服从反射正态分布,其p.d.f.为        = − 0 0 0 2 1 ( ) 2 2 2 x e x f x x    现用矩法分别对  和  2作估计

E(X2N4(X2)=0,DX)=(1-2m 设(X1,X2,,Yn)为总体的样本 E(H2)=D)+B(B=a2/ 由矩法,令E(X)=√2/zo i=1 分别得矩G=Vz/2R 2 估计量为1a=1SX →0≠ 所以矩估计不具有不变性

设（ X1 , X2 ,…, Xn ）为总体的样本 7-37 2 D(X) = (1− 2/) 由矩法，令 = = + = = n i Xi n E X D X E X 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( )  E(X) = 2 / = X =  = n i Xi n 1 2 1 2   ˆ =  / 2 X 2 2    ( ˆ)  所以矩估计不具有不变性 分别得矩 估计量为 E(X ) = 2 /  , ( ) , 2 2 E X =

问题2似然方程的解都是极大似然估计吗? 答不尽然 例如X服从柯西 Cauchy)分布其pdf为 f(x;) <X< [1+(x-0)2] 当n=1时,似然函数为 L(6)= z[1+(x1-0)2]

问题2 似然方程的解都是极大似然估计吗？ 答 不尽然. 例如 X 服从柯西(Cauchy)分布,其p.d.f.为 [1 ( ) ] 1 ( ; ) 2    + − = x f x −  x   当 n =1 时，似然函数为 [1 ( ) ] 1 ( ) 2  1   + − = x L

7-38 hnL(0)=-hz-h[1+(x-0)2] 此时,对数似然方程为 dhL 2(x-6 de 1+(x-)20 故=X是O极大似然估计 当n=2时,似然函数为 L(6) z2[1+(x1-0)1I1+(x2-0)

7-38 ln ( ) ln ln[1 ( ) ] 2 L  = −  − + x1 − 当 n = 2 时，似然函数为 此时，对数似然方程为 0 1 ( ) ln 2( ) 2 1 1 = + − − =    x x d d L 1 故  ˆ = X 是  极大似然估计. [1 ( ) ][1 ( ) ] 1 ( ) 2 2 2 1 2     + − + − = x x L (1)