《多元分析》 因子分析的概述讲解

三、因子载荷矩阵中的几个统计特征 1、因子载荷a1的统计意义 因子载荷an是第i个变量与第j个公共因子的相关系数 模型为X=a1F1+…+amFm+E 在上式的左右两边乘以F,再求数学期望 E(X,F)=a1B(FF)+…+nE(FF)+……+amB(FmF)+E(E:F) 根据公共因子的模型性质,有 yx=an(载荷矩阵中第i行,第j列的元素〉反映了 第i个变量与第j个公共因子的相关重要性。绝对值越 大,相关的密切程度越高

11 三、 因子载荷矩阵中的几个统计特征 1、因子载荷aij的统计意义 因子载荷 aij 是第i个变量与第j个公共因子的相关系数 模型为 Xi ai F aimF m i = ++ +  1 1 在上式的左右两边乘以 Fj ,再求数学期望 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j i1 1 j i j j j i mE F m Fj E iFj E X F = a E FF ++ E F F ++ a +  根据公共因子的模型性质，有 x F ij i j  = （载荷矩阵中第i行，第j列的元素）反映了 第i个变量与第j个公共因子的相关重要性。绝对值越 大，相关的密切程度越高

2、变量共同度的统计意义 定义:变量ⅹ的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元 素的平方和。记为b2=2a2 统计意义: X=a1F1+…+am1m+E两边求方差 Var(X=aivar(F)+.+a ar(Fn)var(e) 1=∑a2+ 2 所有的公共因子和特殊因子对变量X的责献为1。如果2a非常 靠近1,σ2非常小,则因子分析的效果好,从原变量空间到公共因 子空间的转化性质好。 12

12 2、变量共同度的统计意义 定义：变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元 素的平方和。记为 Xi 统计意义： Xi ai F aimF m i = ++ +  1 1 两边求方差 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 m i i i m Var Xi = a Var F ++ a Var F +Var   = = + m j ij i a 1 2 2 1  所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为1。如果 非常 靠近1， 非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因 子空间的转化性质好。 Xi  = m j ij a 1 2 2  i  = m j ij a 1 2  。 = = m j hi aij 1 2 2

3、公共因子F方差贡献的统计意义 因子载荷矩阵中各列元素的平方和 称为所有的F(j=1…,m)对X,的方差贡献和。衡量y 的相对重要性。 13

13 3、公共因子 Fj 方差贡献的统计意义 因子载荷矩阵中各列元素的平方和 称为所有的 对 的方差贡献和。衡量 的相对重要性。  = = p i S j aij 1 2 ( j =1,  ,m) Fj Xi Fj

§3因子载荷矩阵的估计方法 (一)主成分分析法 设随机向量x=(x,x2…x)的均值为u,协方差为, 1≥2≥…≥n≥0为Σ的特征根,u1,u2,,p为对应的 标准化特征向量,则 ∑=U U′=AA′+D P 14

14 § 3 因子载荷矩阵的估计方法 设随机向量 的均值为，协方差为, 为的特征根， 为对应的 标准化特征向量，则 ( )  = p x , x , , x x 1 2  1  2   p  0 1 2 up u ,u ,  , 1 2 p            =       Σ = U U AA + D （一）主成分分析法

u 0 uu P =1u+22u2+…+2mnm+m+Um+1m++…+nun u n,u u1√2u 2 u P 上式给出的Σ表达式是精确的,然而,它实际上是毫 无价值的,因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子 解释,故略去后面的p-m项的贡献,有 15

15 上式给出的表达式是精确的，然而，它实际上是毫 无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子 解释，故略去后面的p-m项的贡献，有 = + + +   1u u u u u u 1 1 2 2    2 mmm + m m m p +++ 1 1 u u u u   1 + +  p p                  = p 2 u u u u u u p p p         2 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 p                         2 1 2 p p u u u u u u