《数学实验习题集》习题2

习题2 2.甲、乙、丙3人进行独立射击,每人的命中率依次为03,0.4,0.6,设每 人射击一次,试求3人命中总数之概率分布律 解用X表示3人命中总数,则X的取值为0,1,2,3. 用A表示“甲命中,B表示“乙命中”,C表示“命中”.则 P(Xx=0)=P(ABC)=0.7×0.6×0.4=0.168, P(=lP(ABC)P(ABCHP(ABC) =0.3×0.6×0.4+0.7×0.4×0.4+0.3×0.6×0.6=0.436 P(X=2=P(ABCHP(ABCH+P(ABC) 0.3×0.4×0.4+0.3×0.6×0.6+0.7×04×0.6=0.324 P(x=3)=P(ABC=0.3×0.4×0.6=0.072. 0.16804360.324 6.设对某批产品的验收敛方案为:从该批产品中随机地抽查5件产品,若 次品数小于等于1,则该批产品通过验收敛,否则不予通过,若某批产品的次品 率为0.05,试求该批产品通过验收敛的概率 解用X表示5件产品中的次品数,则X~B(5,0.05).于该批产品通过验收 敛的概率为 P(x≤1)=PCX=0)+P(x=1) (05(09+(5×05×(095y 0.9774. 7.某份试卷有10道选择题,每题共有A,B,C,D四个答案供选择,其中只 有一个答案是正确的.设某人对每道题均随机地选择答案,试求该生10道题中 恰好答对6道题的概率是多少? 解用X表示10道题中答对的题目数,则X~B(0.)于是该生10道题 中恰好答对6道题的概率是 P(X=6) 6 1y×(-1 ()5×(3) 12.设随机变量X具有分布函数 F(x)={x30≤x<1 试求:P(-3,P(xs),(<X≤),P(X>X≤分) 解P(X-3)=F(-3)=0

习题 2 2 甲、乙、丙 3 人进行独立射击 每人的命中率依次为 03 04 06 设每 人射击一次 试求 3 人命中总数之概率分布律 解 用 X 表示 3 人命中总数 则 X 的取值为 0 1 2 3 用 A 表示 “甲命中” B 表示 “乙命中” C 表示 “命中” 则 P(X=0)=P(ABC)=070604=0168 P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =030604+070404+030606=0436 P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =030404+030606+070406=0324 P(X=3)=P(ABC)=0 30 40 6=0072 X 0 1 2 3 pk 0168 0436 0324 0072 6 设对某批产品的验收敛方案为 从该批产品中随机地抽查 5 件产品 若 次品数小于等于 1 则该批产品通过验收敛 否则不予通过 若某批产品的次品 率为 005 试求该批产品通过验收敛的概率 解 用 X 表示 5 件产品中的次品数 则 X~B(5 005) 于该批产品通过验收 敛的概率为 P(X1)=P(X=0)+P(X=1) 0 5 1 4 (0.05) (0.95) 1 5 (0.05) (0.95) 0 5          +      = =09774 7 某份试卷有 10 道选择题 每题共有 A B C D 四个答案供选择 其中只 有一个答案是正确的 设某人对每道题均随机地选择答案 试求该生 10 道题中 恰好答对 6 道题的概率是多少？ 解 用 X 表示 10 道题中答对的题目数 则 ) 4 1 X ~ B(10,  于是该生 10 道题 中恰好答对 6 道题的概率是 6 4 6 4 ) 4 3 ) ( 4 1 ( 6 10 ) 4 1 ) (1 4 1 ( 6 10 ( 6)          − =      P X = =  12 设随机变量 X 具有分布函数         = 1 1 0 1 0 0 ( ) 3 x x x x F x  试求 P(X−3) ) 2 1 P(X   ) 2 1 3 1 P(  X   ) 3 2 | 2 1 P(X  X   解 P(X−3)=F(−3)=0

P(X≤1)=F(4)=(y=1 n3<Xs)(===6 P(X>,X≤)P(<X≤台) PX>X≤ P(X P(X≤) 15.设随机变量X具有概率密度 fo Ax(1-x2)0 其他 (1)求常数A; (2)求X的分布函数; 3)求x的取值落在区间凸,内的概率 解()由1=厂/(x=2401-x)h=4,得A (2)当x<0时,F(x)=0; 当0≤x<1时,F(x)=[4x(1-x2a 当x21时,F(x)=1 0 因此F(x)={2x2-x40≤x<1 (3)X的取值落在区间[,]内的概率为 PG≤x≤)=F()-F(3)=(2 18.设随机变量XN(5,4),试求P(X5),P(3<K<6),P(3<X<7,P(11)以及 常数C的范围,使P(x-5<C)20.99 解P(X>5)=1-P(X )=1-(0)=1-1=1 3<X<6)=()-p( =q(0.5)4-1)=40.5}[1-q(1) =0.6915-1-0.8413}=0.5328

8 1 ) 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ( 3 P X  = F = =  216 19 ) 3 1 ) ( 2 1 ) ( 3 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 3 1 ( 3 3 P  X  = F −F = − =  ) 3 2 ( ) 3 2 2 1 ( ) 3 2 ( ) 3 2 , 2 1 ( ) 3 2 | 2 1 (    =      = P X P X P X P X X P X X 64 37 ) 3 2 ( ) 2 1 ) ( 3 2 ( ) 3 2 ( ) 2 1 ) ( 3 2 ( 3 3 3 = − = − = F F F  15 设随机变量 X 具有概率密度    −   = 0 其他 (1 ) 0 1 ( ) 2 Ax x x f x  (1)求常数 A (2)求 X 的分布函数 (3)求 X 的取值落在区间 ] 2 1 , 3 1 [ 内的概率 解 (1)由 4 1 ( ) (1 ) 1 0 2 A = f x dx = Ax −x dx =   + −  得 A=4. (2)当 x0 时 F(x)=0 当 0x1 时 2 4 0 2 F(x) 4x(1 x )dx 2x x x = − = −   当 x1 时 F(x)=1. 因此       −    = 1 1 2 0 1 0 0 ( ) 2 4 x x x x x F x  (3) X 的取值落在区间 ] 2 1 , 3 1 [ 内的概率为 1296 295 ) 3 1 3 1 ) (2 2 1 2 1 ) (2 3 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 3 1 ( 2 4 2 4 P  x = F −F =  − −  − =  18 设随机变量 X~N(5 4) 试求 P(X5) P(3X6) P(3X7) P(|X|1)以及 常数 C 的范围 使 P(|X−5|C)099 解 2 1 2 1 ) 1 (0) 1 2 5 5 ( 5) 1 ( 5) 1 ( = − = − = − P X  = −P X  = −   ) 2 3 5 ) ( 2 6 5 (3 6) ( − − − P  X  =  =(0.5)−(−1)=(0.5)−[1−(1)] =0.6915−[1−0.8413]=0.5328

P3<x<7)=0=5-03-5 a(1)-q(-1)=21)1=2×0.8413-1=0.6826 P(x>1)=1-P(X1≤1)=1-P(-1≤X<1) 1-q-2)+q-3)=1-[1-2)+[1l-3 d(2)q3)H+1=0.9772-09987+1=0.9785 (x-5kO=P(-2<-2<2)=02)-1, 要使P(X-5k<C≥099,只需20()-120.99,即(C)20.995,查表得S≥258, 故C>51 20.设某批鸡蛋每只的重量Ⅺ(以克计)服从正态分布,X~N(50,25) (1)求从该批鸡蛋中任取一只,其重量不足45克的概率; (2)从该批鸡蛋中任取一只,其重量介于40克到60克之间的概率; (3)若从该批鸡蛋中任取五只,试求恰有2只鸡蛋不足45克的概率; (4)从该批鸡蛋中任取一只其重量超过60克的概率; (5求最小的n,使从中任选n只鸡蛋,其中至少有一只鸡蛋的重量超过60 克的概率大于099 解(1)P(x<45)=0(45-50)=-1=1-0)=1-08413=01587 (2)P40<X<60)=5-5 40-50)=(2)-( (2)-1 2×0.9772-1=0.9544 (3)设Y为5只鸡蛋中重量不足45克的鸡蛋数,则Y-B(5,0.1587),故所求 概率为 P(=2)=510.15873(04133 4)x86)-xs60039-1-0)1908 (5)设Z表示n只鸡蛋中重量大于60克的鸡蛋数,则Z-B(n,0.0228) 因为 P(≥1)=1-P(Y<1)=1-(0.9772y, 所以要使P(1)>0.99,只需 1-(0.9772y>0.99, 即 (0.9772y<0.01

) 2 3 5 ) ( 2 7 5 (3 7) ( − − − P  X  =  =(1)−(−1)=2(1)−1=20.8413−1=0.6826. P(|x|1)=1−P(|X|1)=1−P(−1X1) ) 2 1 5 ) ( 2 1 5 1 ( − − + − = −  =1−(−2)+(−3)=1−[1−(2)]+[1−(3)] =(2)−(3)+1=0.9772−0.9987+1=0.9785. ) 1 2 ) 2 ( 2 2 5 2 (| 5| ) (  = − − −  = −  C X C C P X C P   要使 P(|X−5|C)0.99 只需 ) 1 0.99 2 2 ( −  C   即 ) 0.995 2 (  C   查表得 2.58 2  C  故 C5.16. 20 设某批鸡蛋每只的重量 X(以克计)服从正态分布 X ~N(50 25) (1)求从该批鸡蛋中任取一只 其重量不足 45 克的概率 (2)从该批鸡蛋中任取一只 其重量介于 40 克到 60 克之间的概率 (3)若从该批鸡蛋中任取五只 试求恰有 2 只鸡蛋不足 45 克的概率 (4)从该批鸡蛋中任取一只其重量超过 60 克的概率 (5)求最小的 n 使从中任选 n 只鸡蛋 其中至少有一只鸡蛋的重量超过 60 克的概率大于 099 解 (1) ) ( 1) 1 (1) 1 0.8413 0.1587 5 45 50 ( 45) ( = − = − = − = − P X  =    (2) ) (2) ( 2) 2 (2) 1 5 40 50 ) ( 5 60 50 (40 60) ( = − − = − − − − P  X  =     =20.9772−1=0.9544. (3)设 Y 为 5 只鸡蛋中重量不足 45 克的鸡蛋数 则 Y~B(5 0.1587) 故所求 概率为 2 3 (0.1587) (0.413) 2 5 ( 2)       P Y = =  (4) ) 1 (2) 1 9.9772 0.0228 5 40 50 ( 60) 1 ( 60) ( = − = − = − P X  = −P X  =   (5)设 Z 表示 n 只鸡蛋中重量大于 60 克的鸡蛋数 则 Z~B(n 0.0228) 因为 P(Y1)=1−P(Y1)=1−(0.9772)n  所以要使 P(Y1)0.99 只需 1−(0.9772)n0.99 即 (0.9772)n0.01

解得 h0972=200 23.设随机变量X具有概率分布律: k0080020030170150050200160.14 试求Y=的概率分布律 解Y的取值为0,1,2,3,4,5,其概率分布律为 P(Y=0=P(X=0)=0.17, P(Y=1)=P(=-1)+P(X=1)=0.03+0.15=0.18 P(Y=2)=P(x=-2)+P(X=2)=0.02+005=0.07, P(Y=3)=P(X=-3)+P(X=3)=0.08+0.20=0.28, P(Y=4)=P(X=4)=0.16, P(Y=5)=P(=5)=0.14 017018|007028|0.1601

解得 200 ln 0.9772 ln 0.01 n =  23 设随机变量 X 具有概率分布律 X −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 pk 0.08 0.02 0.03 0.17 0.15 0.05 0.20 0.16 0.14 试求 Y=X 2 的概率分布律 解 Y 的取值为 0 1 2 3 4 5 其概率分布律为 P(Y=0)=P(X=0)=0.17 P(Y=1)=P(X=−1)+P(X=1)=0.03+0.15=0.18 P(Y=2)=P(X=−2)+P(X=2)=0.02+0.05=0.07 P(Y=3)=P(X=−3)+P(X=3)=0.08+0.20=0.28 P(Y=4)=P(X=4)=0.16 P(Y=5)=P(X=5)=0.14. 即 Y 0 1 2 3 4 5 pk 0.17 0.18 0.07 0.28 0.16 0.14