冷同济三版《线性代数》 Linear algebra Y 2004-2005S QZHANG edited by LATEX 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 对称矩阵的相似矩阵 第五章相似矩阵及二次型 二次型及其标准形 用配方法化二次型成标 Chapter v similar Matrices and Quadratic Forms 讲:张少强 主讲人:张少强 标题页 sqzhang@163.com 第1页共妇页 计算机与信息工程学院 天津师范大学 全屏显示
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 1 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ”Lná5Ç5ìÍ6Linear Algebra c 2004-2005 S.Q.ZHANG edited by LATEX 1 Ÿ Éq› 9g. Chapter V Similar Matrices and Quadratic Forms Ã˘<µ‹ r sqzhang@163.com 计算机与信息工程学院 天津师范大学
预备知识向量的内积 本章主要内容简介 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 1.向量的内积,长度的概念,向量空间的规范正交基;正交矩阵;正 正定二次型 交变换 2.矩阵的特征值,特征向量; 主讲:张少强 标题页 3.相似矩阵,实对称矩阵正交相似与对角矩阵的方法 4.二次型及其矩阵表示,二次型秩的概念;二次型的标准形,规范 形 5.配方法化二次型为标准形;二次型与对应矩阵的正定性判别 第2页共42页 全屏显示
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 2 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ŸÃáSN{0 1. ï˛S»,›Vg; ï˛òm5âƒ; › ; CÜ; 2. › Aä, Aï˛; 3. Éq› , ¢È°› ÉqÜÈ› ê{; 4. g.9Ÿ› L´, g.ùVg; g.IO/, 5â /; 5. ê{zg.èIO/; g.ÜÈA› ½5O.
1预备知识:向量的内积 y1 预备知识向量的内积 定义1设有n维向量x 令 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 对称矩阵的相似矩阵 Un 二次型及其标准形 x,列=1+2+…+anbn=∑ab 主讲:张少强 ,则称{,y为向量与y的内积 标题页 向量的内积有下列性质 (1)对称性:[a,y]={y,x]; 第3页共42页 (i)线性性:[A11+2x2,9=A{1,y+A2{x2,y],对v1,A2∈ R, Vl ∈R (i)m,m]≥0,并且等号成立当且仅当向量x=0 全屏显示 (ⅳv)施瓦茨( Schwartz)不等式[x,y]2≤[a,ly,y]
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 3 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — 1 ˝£: ï˛S» ½¬1 knëï˛x = x1 x2 . . . xn , y = y1 y2 . . . yn , - [x, y] = x1y1 + x2y2 + · · · + anbn = X n i=1 aibi = x Ty , K°[x, y]èï˛xÜyS». ï˛S»ke5ü: (i) È°5: [x, y] = [y, x]; (ii) Ç 5 5: [λ1x1 + λ2x2, y] = λ1[x1, y] + λ2[x2, y], È∀λ1, λ2 ∈ R, ∀x1, x2, y ∈ R n ; (iii) [x, x] > 0, øÖ “§·Ö=ï˛x = 0. (iv) ñ](Schwartz)ÿ ™: [x, y] 2 6 [x, x][y, y]
定义2非负实数√{x,m +x2,称为向量c的长度(或范 数),记为xl,当|=1时,向量x称为单位向量 预备知识向量的内积 向量的长度有下列性质 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 (1)非负性当c≠0时,|l‖>0;当x=0时,|‖=0 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 (2)齐次性|a‖=||cll1∈R 用配方法化二次型成标 (3)三角不等式|x+≤‖cl+yl 由施瓦茨不等式知当||y≠0时,(即x,y均不是零向量时) 主讲:张少强 标题页 定义当c≠0,y≠0时, 第4页共页 0= arccos ally 全屏显示 称为n维向量x与y的夹角
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 4 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ½¬2 öK¢Íp [x, x] = p x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n , °èï˛x›(½â Í), Pèkxk, kxk = 1û, ï˛x°è¸†ï˛. ï˛›ke5ü: (1) öK5 x 6= 0û, kxk > 0; x = 0û, kxk = 0; (2) ‡g5 kλxk = |λ| kxk, λ ∈ R; (3) nÿ ™ kx + yk 6 kxk + kyk. dñ]ÿ ™kxk kyk 6= 0û, (=x, y˛ÿ¥"ï˛û)k [x, y] kxk kyk 6 1 ½¬ kxk 6= 0, kyk 6= 0û, θ = arccos [x, y] kxk kyk °ènëï˛xÜyY
注:向量的内积是把解析几何(见高数第7章)中3维向量的数量积推广 到n维数量积:y=|al|ycos推广到内积a,y=|cyos.0就是 向量x与y的夹角 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 定义当内积r,9]=cy=0时,称向量a与y正交.很显然,若与y正交 相似矩阵 对称矩阵的相似矩阵 且x≠0,y≠0,则a与y的夹角为90°零向量0与任何同维向量正交 二次型及其标准形 用配方法化二次型成标 定理1若n维向量a1,a2,…,a1是一组两两正交的非零向量,称为正交向量 组,则a1,a2,…,a线性无关 主讲:张少强 证设有A1A2,…,A使a1+入2a2 0 标题页 上式两边分别左乘以a得 Aa1,a1]+2{a1a2+…+入{a1,an={a1 第5页共页 a1与其他向量正交=>A1a1,a]=0=1|a1|2=0 又因a1≠0,所以1≠0,从而必有入1=0 用a2,…,依次左乘Aa1+a2+…+入an=0,类似可得到入2 全屏显示 0,……,入=0,于是向量组a1,a2,…,a线性无关
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 5 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — 5: ï˛S»¥r)¤A¤(ÑpÍ17Ÿ)•3ëï˛Í˛»Ì2 në. Ͳ»x · y = |x| |y| cos θÌ2S»[x, y] = kxk kyk cos θ. θ“¥ ï˛xÜyY. ½¬ S»[x, y] = x Ty = 0û, °ï˛xÜy. Èw,, exÜy Öx 6= 0, y 6= 0, KxÜyYè90◦ . "ï˛0Ü?¤”ëï˛. ½n1 enëï˛a1, a2, · · · , ar¥ò|¸¸ö"ï˛, °èï˛ |, Ka1, a2, · · · , arÇ5Ã'. y kλ1λ2, · · · , λr¶λ1a1 + λ2a2 + · · · + λrar = 0, ˛™¸>©Oܶ±a T 1 λ1[a1, a1] + λ2[a1, a2] + · · · + λr[a1, ar] = [a1, 0] ∵ a1ÜŸ¶ï˛ =⇒ λ1[a1, a1] = 0 =⇒ λ1ka1k 2 = 0 qœa1 6= 0, §±ka1k 6= 0, l 7kλ1 = 0. ^a T 2 , · · · , a T rùgܶλ1a1 + λ2a2 + · · · + λrar = 0, aqåλ2 = 0, · · · , λr = 0, u¥ï˛|a1, a2, · · · , arÇ5Ã'.