冷同济三版《线性代数》 Linear Algebra Edited by iateX §1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 第三章矩阵的初等变换与线性方 线性方程组的解 程组 §4初等矩阵 本章总结 Chapter li elementary reductions of Matrices and Systems of Linear Equations 主讲张少强 主讲人:张少强 44P sqzhang@mail.tinu.edu.cn 第1页共41页 计算机与信息工程学院 全屏显示 天津师范大学
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 1 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ó▲♥❻✺❶✺➇ê✻Linear Algebra Edited by LATEX ✶♥Ù Ý✡✛Ð✤❈❺❺❶✺➄ ➜⑤ Chapter III Elementary Reductions of Matrices and Systems of Linear Equations ❒ù❁➭Ü ✟ r sqzhang@mail.tjnu.edu.cn 计算机与信息工程学院 天津师范大学
§1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 线性方程的解 初等矩阵 本章主要内容f介 本章总结 1.通过消元法( Gauss’ Method)解线性方程组来引进矩阵的初 主讲:张少 等变换。 标题页 2.利用矩阵的“秩ˆ来讨论线性方程组的解的情况 44 3.最后介绍单位矩阵经初等变换得到初等矩阵” 第2页共41页 全屏显示
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✢Ù❒❻❙◆④✵ 1. Ï▲➒✄④↔Gauss✳Method↕✮❶✺➄➜⑤✺Ú❄Ý✡✛Ð ✤❈❺✧ 2. ⑤❫Ý✡✛“➑”✺❄Ø❶✺➄➜⑤✛✮✛➐➵✧ 3. ⑩✵☛ü➔Ý✡➨Ð✤❈❺✚✔“Ð✤Ý✡
1$1矩阵的初等变换 上章提到线性方程组的一般形式 §1矩阵的初等吏换 §2矩阵的 111+a12℃2+… 3线性方程组的解 a211+a2X2+…+a2nxn=b2, §4初等矩阵 amI1+am2C2+.+amnOn= bm 主讲:张少 b1 标题页 系数矩阵A=(a1),未知数向量x= 常数项向量b 增 44 72 b1 第3页共41页 广矩阵B=(A|b) 若常数项向量b=O,则 全屏显示 aml am2 称为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 1 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ þÙ❏✔❶✺➄➜⑤✛➌❸✴➟ a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm, ❳êÝ✡A = (aij), ➍⑧ê➉þx = x1 x2 . . . xn , ⑦ê➅➉þb = b1 b2 . . . bm , ❖ ✷Ý✡B = (A|b) = a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn bm . ❡⑦ê➅➉þb = O, ❑ →➃à❣❶✺➄➜⑤,➘❑➃➎à❣❶✺➄➜⑤
下面我们讨论矩阵的初等变换它在解线性方程组,求矩阵的逆等理论中 有重要的应用.为了引进矩阵的初等变换,先来分析用消元法(又叫高斯 §1矩阵的初等吏换 §2矩阵的秋 法)解线性方程组的例子 3线性方程组的解 引例求线性方程组的解 §4初等矩阵 本章总结 4 2.① +x2-2 +x4=4 主讲:张少 4x1-6x2+2x3-2x4=4,③ +6 9x3+74=9,④ 标题页 44 解 x1+x2-2x3+x4=4,① +C 第4页共41页 2.③ (B1) 3x1+6x2-9x3+7x4=9, 全屏显示
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❡→➲❶❄ØÝ✡✛Ð✤❈❺, ➜✸✮❶✺➄➜⑤, ➛Ý✡✛❴✤♥Ø➙ ❦➢❻✛❆❫. ➃✡Ú❄Ý✡✛Ð✤❈❺, ❦✺➞Û❫➒✄④(q✗♣❞ ④)✮❶✺➄➜⑤✛⑦❢. Ú⑦ ➛❶✺➄➜⑤✛✮ 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, ✖ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✗ 4 x1 −6 x2 +2 x3 −2 x4 = 4, ✘ 3 x1 +6 x2 −9 x3 +7 x4 = 9, ✙ (1) ✮ (1) ✖↔✗ ✘÷2 −→ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, ✗ 2 x1 −3 x2 + x3 − x4 = 2, ✘ 3 x1 +6 x2 −9 x3 +7 x4 = 9, ✙ (B1)
1+x2-2x3+T4 4 ④-3① 2x2-2x3+2x4 5x2+5 3 -6.③ 3 3x3+4 §1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 33线性方程组的解 ③+5② x1+x2-2x3+x4 4.① §4初等矩阵 ④-3② 3+x4 本章总结 6.③ (B3) 主讲:张少 消去③和④的π2的时,碰巧把r3也消去了 标题页 +x4 4.① ④-2③ 3+e 0,② 3,③ (B4) 0 第5页共41页 此时④是恒等式,若不是恒等式就说明方程组无解 (B4)是4个未知量3个有效方程的方程组,肯定有个自由未知变量,“回代”的 全屏显示 方法求解:将③x4=-3代入②得x2=3+3,将x4=-3,x2=x3+3代入 ①,得x1=x3+4
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✗−✘ ✘−2✗ ✙−3✖ −→ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ 2 x2 −2 x3 +2 x4 = 0, ✗ −5 x2 +5 x3 −3 x4 = −6, ✘ 3 x2 −3 x3 +4 x4 = −3, ✙ (B2) ✗× 1 2 ✘+5✗ ✙−3✗ −→ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ x2 − x3 + x4 = 0, ✗ 2 x4 = −6, ✘ x4 = −3, ✙ (B3) ➒✖✘Ú✙✛x2✛➒,✲⑤rx3➃➒✖✡. ✘↔✙ ✙−2✘ −→ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ x2 − x3 + x4 = 0, ✗ x4 = −3, ✘ 0 = 0, ✙ (B4) ❞➒✙➫ð✤➟, ❡Ø➫ð✤➟Ò❵➨➄➜⑤➹✮. (B4)➫4❻➍⑧þ3❻❦✟➄➜✛➄➜⑤, ➆➼❦❻❣❞➍⑧❈þ, “↔➇”✛ ➄④➛✮: ò✘x4 = −3➇❭✗✚x2 = x3 + 3,òx4 = −3, x2 = x3 + 3➇❭ ✖, ✚x1 = x3 + 4