《多元分析》 因子分析的概述讲解

称为F2F2…,Fn公共因子,是不可观测的变量 他们的系数称为因子载荷。是特殊因子,是不能被 前m个公共因子包含的部分。并且满足: coV(F,E)=0,F,E即不相关; D(F)= 即F12F2…F互不相关,方差为1

6 称为 公共因子，是不可观测的变量， 他们的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被 前m个公共因子包含的部分。并且满足： F F F m , , , 1 2  i  D F = I             = 1 1 1 ( )  cov( , ) 0, F  = F, 即不相关； F F F m , , , 即 1 2  互不相关，方差为1

D(E)= 即互不相关,方差不一定相等,E~N(0,a2)

7             = 2 2 2 2 1 ( ) p D      即互不相关，方差不一定相等，  i ~ N(0, i 2 )

用矩阵的表达方式 X-H=AF+EE(F)=0 E(a)=0 Var(F)=I E(F1)E(FE2)…E(F) E(25)E(F262)…E(F2En) COV(E, S)=E(F&) 0 E(F Ee(ee) E(FE) ar()=diag(a12,2…,a2)

8 用矩阵的表达方式 X -μ = AF + ε E( ) F 0 = E( ) ε = 0 Var( ) F I = 2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) Var diag =    p ε 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cov( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p E F E F E F E F E F E F E E F E F E F                = = =        F,ε Fε 0

因子分析模型的性质 1、原始变量Ⅹ的协方差矩阵的分解 X-H=AF+E Var(X-p)=AVar(F)A+Var(s) ∑=AA′+D A是因子模型的系数 Var(a=d=diag(o D的主对角线上的元素值越小,则公共因子共享的成 分越多

9 二、因子分析模型的性质 1、原始变量X的协方差矩阵的分解 X -μ = AF + ε  Var Var Var ( ) ( ) ( ) X -μ = A F A + ε  Σx = AA + D A是因子模型的系数 2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) Var diag = =    p ε D D的主对角线上的元素值越小，则公共因子共享的成 分越多

2、因子载荷不是惟一的 设T为一个p×p的正交矩阵,令A=AT, FTF,则模型可以表示为 X=μ+AF+ε且满足条件因子模型的条件 E(TF)=0E(E)=0 Var(F)=Var(tF)=tvar(FT=I rar(8)=dlig(o,O2…) COV(F, 8)=E(F8)=0 10

10 2、因子载荷不是惟一的 设T为一个p×p的正交矩阵，令A*=AT， F*=T’F，则模型可以表示为 * * * X = μ + A F + ε E( ) T F 0  = E( ) ε = 0 * Var Var Var ( ) ( ) ( ) F T F T F T I = = =   2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) Var diag =    p ε * * cov( ) ( ) F ,ε = = E F ε  0 且满足条件因子模型的条件