z08 a fourier变换mb11 (b)F-(xo)=m FLo 表示二从下半平面趋于实轴上的点x0 E-0Ja [-xo+ cr-ef(ndt (c)pF(xo) f(rdr 表示在实轴上求 Cauchy积分主值 Drac- Plemelj关系式实际上是表明这两种极限与 Cauchy积分主值之间的关系。下证之 假设函数f()在实轴邻域解析 利用 Cauchy定理的推论(积分路径变形),如左图沿实轴的积分可变形为如中图路径的积分 这样就可以让二从上半平面趋于实轴上的点x0,记为:x0+0+,这时,F()→F(0)=四Fx+e) =x+IE C+ =x+i0 -=x+i0- b 类似地,可以让二如右图从下半平面趋于实轴上的点x,记为:x0+i0-,这时,F()→F-(x0)=limF(x-ie) 因而,通过上述两种不同路径的积分即可分别求:F+(x0)与F-(xo) f(-)d F+(x0) ++=pF(xo)+ixf(xo). 其中利用了小圆弧引理计算沿小圆弧的积分=xfxo) 写得更清楚点: x- sp /(r)dx f(x)dx +ir f(x)8(x-xo 因为f(x)为任意函数,由“物理学家的证明方法”,上式可写成: 类似地,可证明Drac- Plemel关系中的另一个式子 i丌o(x-xo) -xotI8 x-xo 由此可见,Drac-Peme关系式实际上是一种类似于算符的关系式 只有关系式两边同乘以一个连续函数再求积分,关系式是才显出其意义。 此关系式在固体理论中常用到 例题:求∫(x,y,z)= x2≈()的像函数f(k,k,k) 解:实际上,一不满足绝对可积的要求, 物理上,通常求-εr的像函数,再让B→0。(又是物理学家的做法) --10-CCa地在球坐标中计算 e-Are-ikreoser drdcos e 2 ik ik lik+p ik-B k2+B2 利用Drac- Plemel关系式 k B-o+lk-iB k+iB 2丌I +i)+--i(k)=4x ←4丌 k Ik
(b) F-(x0) = lim ε0+ F(x0 - ε) = lim ε0+ a b f (t) t t - x0 + ε , — 表示 z 从下半平面趋于实轴上的点 x0 (c) F(x0) = lim ε0+ a x-ε f (t) t t - x0 + x+ε b f (t) t t - x0 , — 表示在实轴上求 Cauchy 积分主值 Dirac - Plemelj 关系式实际上是表明这两种极限与 Cauchy 积分主值之间的关系 。下证之。 假设函数 f (ζ) 在实轴邻域解析 ， 利用 Cauchy 定理的推论 （积分路径变形 ），如左图沿实轴的积分可变形为如中图路径的积分 ， 这样就可以让 z 从上半平面趋于实轴上的点 x0，记为：x0 + 0+，这时，F(z) F+(x0) = lim ε0+ F(x0 + ε) z = x + ε a b Cε a b z = x + 0 C + + Cε a z = x + 0- b C- 类似地，可以让 z 如右图从下半平面趋于实轴上的点 x0，记为：x0 + 0-，这时，F(z) F-(x0) = lim ε0+ F(x0 - ε) 因而，通过上述两种不同路径的积分即可分别求 ：F+(x0) 与 F-(x0)。 F+(x0) = lim ε0+ C+ f (z) z z - x0 - ε = lim ε0+ a x0-ε +x0+ε b + Cε = F(x0) + π f (x0)， 其中利用了 小圆弧引理 计算沿小圆弧的积分 Cε = i π f (x0) 写得更清楚点 ：a b f (x) x x - x0 - ε = a b f (x) x x - x0 + π a b f (x) δ(x - x0) x 因为 f (x) 为任意函数 ，由 “物理学家的证明方法 ”，上式可写成 ： 1 x - x0 - ε = x - x0 + π δ (x - x0) 。 类似地，可证明Dirac - Plemelj 关系中的另一个式子 1 x - x0 + ε = x - x0 - π δ(x - x0)。 由此可见，Dirac - Plemelj 关系式实际上是一种类似于算符的关系式 ， 只有关系式两边同乘以一个连续函数再求积分 ，关系式是才显出其意义 。 此关系式在固体理论中常用到 。 ☺ 例题：求 f (x, y, z) = 1 x2 + y2 + z2 = 1 r = f (r) 的像函数 f (kx, ky, kz)。 解：实际上， 1 r 不满足绝对可积的要求 ， 物理上，通常求 1 r -β r 的像函数 ，再让 β 0+。（又是物理学家的做法 ） ℱ 1 r -β r = f (k) = 0 +∞ 0 π 0 2 π 1 r -β r - k · r r2 r sin θ θ ϕ, 在球坐标中计算 = 2 π 0 +∞ cos θ =-1 cos θ =1 1 r -β r - k r cos θ r2 r cos θ = 2 π 0 +∞ k r - - k r k -β r r = - 2 π k 1 k + β + 1 k - β = 4 π k2 + β2 ℱ 1 r = lim β0+ ℱ 1 r -β r = 2 π k lim β0+ 1 k - β + 1 k + β , 利用 Dirac - Plemelj 关系式 = 2 π k k + δ(k) + k - δ(k) = 4 π k2 1 r ⟷ 4 π k2 z08a Fourier 变换.nb 11
12|z08 g Fourier变换nb 反变换:先对和θ积分并利用: elkrcose sin ed6= ekrcosek2 dksin 8 de dd k21(2)3 fCA 令此主值积分为A A=p dy=-Im 9 Fourier变换的基本性质 1.线性定理 a1f(x)+a(x)=a1f1(k)+a22( 定理 若f()为实函数,则:f(k)=[f(-)或f(-A)=f(k) 证明:)=dx=f)e-dx=(x)edx=- 3.延迟定理 U(x-x0)=e和f(k) 4.位移定理 Flelkoxf(x)=/(-ko 证明:厂“(cdx=厂/c-a=6) 5.相似定理 0=1)一可=0 证明:a>0时 f(ax)edx f(ue a du= a<0时, ax) e-ikr d令 f(u)e a di 6.微分定理 若mmx)=0,m=0,1,…n-1,则:ffx)=(kyfk)微分变为乘积 证明:TU叫rccd)=c(0+c-ta)dx=k 令:g(x)=f(x),则:fgx)]=ikf(k),从而:fg(x)=ikg(k)=(ik)2f(k) 类似地,有频域微分 f(x)e-ikr dx= dx= (ix)f(x)e-ikxdx=f[(ix)f(x)I 数分定理也可表为:升~叫及产吗=(-ixyf0) 注意负号对应于以下的 Fourier变换定义(不同学科所用的定义也可能差一负号,见下一小节) /G)=f"/)]= )rdk J()=FU(x))= f()e-iksdx 7.积分定理
反变换：先对 ϕ 和 θ 积分并利用 ：0 π k r cos θ sin θ θ = 2 sin k r k r ℱ-1 4 π k2 = 4 π (2 π)3 0 +∞ 0 π 0 2 π 1 k2 k r cos θ k2 k sin θ θ ϕ = 2 π 0 +∞ sin k r k r k = 2 π r 0 +∞ sin v v v 令此主值积分为：A = 1 r A = 0 +∞ sin v v v = 1 2 Im -∞ +∞ v v v = π 2 Fourier变换的基本性质 1. 线性定理 ℱ[a1 f1(x) + a2 f2(x)] = a1 f 1(k) + a2 f 2(k) 2. 共轭定理 若 f (x) 为实函数 ，则：f (k) = f (-k) * 或 f (-k) = f * (k) 证明：f (k) = -∞ +∞ f (x) - k x x = -∞ +∞ f *(x) - k x x = -∞ +∞ f (x) k x * x = f (-k) * 3. 延迟定理 ℱ[f (x - x0)] = - k x0 f (k) 4. 位移定理 ℱ k0 x f (x) = f (k - k0) 证明：-∞ +∞ k0 x f (x) - k x x = -∞ +∞ f (x) - (k-k0) x x = f (k - k0) 5. 相似定理 ℱ[f (a x)] = 1 a f k a ⟹ ℱ[f (-x)] = f (-k) 证明：a > 0 时，-∞ +∞ f (a x) - k x x 令：u = a x 1 a -∞ +∞ f (u) - k a u u = 1 a f k a = 1 a f k a a < 0 时，-∞ +∞ f (a x) - k x x 令：u = a x 1 a +∞ -∞ f (u) - k a u u = - 1 a f k a = 1 a f k a 6. 微分定理 若 lim x ∞ f (m) (x) = 0, m = 0, 1, ⋯, n - 1, 则：ℱf (n) (x) = ( k)n f (k) 微分变为乘积 证明：ℱ[f ′ (x)] = -∞ +∞ f ′ (x) - k x x = -∞ +∞ - k x f (x) = - k x f (x) -∞ +∞ + k -∞ +∞ - k x f (x) x = k f (k) 令：g(x) = f ′ (x)，则：ℱ[g(x)] = k f (k) ，从而：ℱ[g′ (x)] = k g (k) = ( k)2 f (k) 类似地，有频域微分 f ′ (k) = k -∞ +∞ f (x) - k x x = -∞ +∞ f (x) - k x k x = -∞ +∞ (- x) f (x) - k x x = ℱ[(- x) f (x)] 微分定理也可表为：ℱf (n) (x) = ( k)n f (k) 及 ℱ-1f (n) (k) = (- x)n f (x) 注意负号对应于以下的 Fourier 变换定义 （不同学科所用的定义也可能差一负号 ，见下一小节 ） f (x) = ℱ-1f (k) = 1 2 π -∞ ∞ f (k) k x k f (k) = ℱ[f (x)] = -∞ ∞ f (x) - k x x 7. 积分定理 12 z08a Fourier 变换.nb
z08 a fourier变换mb13 (x)=f( dt, yy: flg(x))=-f(k) 明:g(x)=f(dt→gt(x)=f(x),由上一性质:fg(x=fUf(x)=ik(k)=f(k) 8.原函数的卷积定理 定义卷积:f(x)*(x)≡f(0)(x-0)dt=2(x)*/(x) 则:U(x)*(x)=U1(x)U(x)l=(k)(k 证明:fUfx)*f(x) Lho=nde]ek dx=L fof(-ne-ikx dxd f()d(x-0e-kdx|=f(0)e-k五(k)d,利用了性质3延迟定理 A(k) f(de-ikl dt=f()J(k) 9.像函数的卷积定理 fUi(x)f2(x) f(k)*(k) 证明:()(=|fx).()e-bxdx=(x)e-kx f()ekxdkldx f2(k)dR fi(x)e-i( -*)xdx f2()fi(k-k)dk 左(k)*(k)=一(k)*左(k) 际上,我们又何尝区分得了哪一个是像函数哪一个是原函数,其差别仅在于一个负号与2因子 而这个负号与2m在不同学科中也有不同的选择(参见下一小节) 10.乘积定理 若fx),x)为实函数,则 ((dx=1)0(dk=1C6k fi(x)f(x)dx= fi(x) f2()edko dk d f2(k) f(x)e- i dx dk,利用了实函数f(x)=f(x) f2(k)fi()dk 1. Parseval定理 J()g"(k)k=2Tf(x)g(x)dx 证明:左边= f(r)e-d dve-iky dyl dk f(x)gv) e-ik() dxdy f(x)go)6(x-y)dxdy=2Tf(x)g"(x)d · Plancherel恒等式 当/(=8时,有:m减时a=2o 高维空间的 Plancherel恒等式 Vci, k2)l dki dk2=(2x) dx dx
g(x) = -∞ x f (t) t，则：ℱ[g(x)] = 1 k f (k) 证明：g(x) = -∞ x f (t) t ⟹ g′ (x) = f (x) ，由上一性质 ： ℱ[g′ (x)] = ℱ[f (x)] = k g (k) = f (k) 8. 原函数的 卷积定理 定义卷积 ：f1(x) * f2(x) ≡ -∞ +∞ f1(t) f2(x - t) t = f2(x)* f1(x)， 则：ℱ[f1(x)* f2(x)] = ℱ[f1(x)] ℱ[f2(x)] = f1 (k) f2 (k) 证明：ℱ[f1(x) * f2(x)] = -∞ +∞ -∞ +∞ f1(t) f2(x - t) t - k x x = -∞ +∞ -∞ +∞ f1(t) f2(x - t) - k x x t = -∞ +∞ f1(t) t -∞ +∞ f2(x - t) - k x x = -∞ +∞ f1(t) - k t f2 (k) t，利用了性质 3 延迟定理 = f2 (k) -∞ +∞ f1(t) - k t t = f1 (k) f2 (k) 9. 像函数的卷积定理 ℱ[f1(x) f2(x)] = 1 2 π f1 (k) * f2 (k) 证明：ℱ[f1(x) f2(x)] = -∞ +∞ f1(x) f2(x) - k x x = -∞ +∞ f1(x) - k x 1 2 π -∞ +∞ f2(k′ ) k′ x k′ x = 1 2 π -∞ +∞ f 2(k′ ) k′ -∞ +∞ f1(x) - (k-k′) x x = 1 2 π -∞ +∞ f 2(k′ ) f1 (k -k′ ) k′ = 1 2 π f2 (k) * f1 (k) = 1 2 π f1 (k)* f2 (k) 实际上，我们又何尝区分得了哪一个是像函数哪一个是原函数 ，其差别仅在于一个负号与 2 π 因子， 而这个负号与 2 π 在不同学科中也有不同的选择 （参见下一小节 ）。 10. 乘积定理 若 f1(x), f2(x) 为实函数，则 -∞ +∞ f1(x) f2(x) x = 1 2 π -∞ +∞ f1 (k) f2 * (k) k = 1 2 π -∞ +∞ f1 * (k) f2 (k) k 证明：-∞ +∞ f1(x) f2(x) x = -∞ +∞ f1(x) 1 2 π -∞ +∞ f 2(k) k x k x = 1 2 π -∞ +∞ f 2(k) -∞ +∞ f1(x) - k x x * k, 利用了实函数 f1(x) = f1 *(x) = 1 2 π -∞ +∞ f 2(k) f 1 * (k) k 11. Parseval 定理 -∞ +∞ f (k) g *(k) k = 2 π -∞ +∞ f (x) g* (x) x 证明：左边 = -∞ +∞ -∞ +∞ f (x) - k x x -∞ +∞ g(y) - k y y * k = -∞ +∞ -∞ +∞ f (x) g*(y) -∞ +∞ - k (x-y) k x y = 2 π -∞ +∞ -∞ +∞ f (x) g*(y) δ (x - y) x y = 2 π -∞ +∞ f (x) g* (x) x Plancherel 恒等式 当 f (x) = g(x) 时，有：-∞ +∞ f (k) 2 k = 2 π -∞ +∞ f (x) 2 x 高维空间的Plancherel 恒等式 -∞ +∞ -∞ +∞ f (k1, k2) 2 k1 k2 = (2 π)2 -∞ +∞ -∞ +∞ f (x1, x2) 2 x1 x2 z08a Fourier 变换.nb 13