《数学物理方法》第七章作业参考解答 1.求f(x)=10 sinx,0<x<丌 的 Fourier变换象函数,并写出f(x)的 Fourier积 otherwise 解: 由定义, f( 厂f(xl sin xe- dx 一ik丌 2z1-k 其 Fourier积分为, 11+e -ika f(x) 2C不= 2n1_l2e“dk= 1r1 2.求f(x)=e2的 Fourier变换象函数并写出f(x)的 Fourier积分 解 由定义, f()=+Lf(r)e"dx=o-lerne-bdx 2(x-k)2 dx 其中用到了e"dm=C(o+sm= 其 Fourier积分为, f(x)=5/()et*dk=r 3.用 Fourier变换求解微分方程X(1)+2x()+m2x(1)=b(-r)(-<1<∞) 其中,y,an,r为实常数,且ao>y>0 (提示:先用 Laplace变换求()+2x(1)+on3x(1)=0的通解,然后用 Fourier变 换求方程X(1)+21(1)+02x()=(-)的特解)
《数学物理方法》第七章作业参考解答 1. 求 < < = 0, otherwise sin , 0 x ( ) x π f x 的 Fourier 变换象函数,并写出 f (x) 的 Fourier 积 分。 解： 由定义， 2 0 0 1 1 2 1 d 2 2 1 sin d 2 1 ( ) d 2 1 ( ) ~ k e e x i e e f k f x e x xe x ik ikx ix ix ikx ikx − + = − = = = − − − − ∞ −∞ − ∫ ∫ ∫ π π π π π π π 其 Fourier 积分为， ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ − ∞ −∞ − ∞ −∞ − + = − + = = e k k e e k k e f x f k e k ikx ik ikx ik ikx d 1 1 2 1 d 1 1 2 1 2 1 ( ) d ~ 2 1 ( ) 2 2 π π π π π π 2. 求 / 2 2 ( ) ix f x = e 的 Fourier 变换象函数,并写出 f (x) 的 Fourier 积分。 解： 由定义， ( ) − ∞ − ∞ − −∞ − ∞ −∞ ∞ − − −∞ − ∞ −∞ − = = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 2 2 4 0 2 2 / 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d 1 2 d 2 1 d 2 1 d 2 1 ( ) d 2 1 ( ) ~ k i k i i iu k i iu k i x k i k i ikx ix ikx e e u e e u e e e f k f x e x e e x e e x π π π π π π π 其中用到了 ( ) 4 0 2 2 0 2 d cos isin d 2 π π i iu e u = u + u u = e ∫ ∫ ∞ ∞ 其 Fourier 积分为， ∫ ∫ ∞ −∞ − ∞ −∞ f x = f k e k = e e k ikx k i ikx d 2 1 ( ) d ~ 2 1 ( ) 4 2 2 π π π 3. 用 Fourier 变换求解微分方程 x(t) + 2γx(t) +ω x(t) = δ (t −τ ) 2 0 && & （− ∞ < t < ∞ ）， 其中，γ ,ω ,τ 0 为实常数，且ω0 > γ > 0。 （提示：先用 Laplace 变换求 ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 & x& t + γx& t +ω0 x t = 的通解，然后用 Fourier 变 换求方程 x(t) + 2γx(t) +ω x(t) = δ (t −τ ) 2 0 && & 的特解）
解: 先求相应的齐次方程的通解x(),即()+2x0(1)+2x0(1)=0,可以用 Laplace变换或《高等数学》中解二阶常系数微分方程的方法。(下面以 Laplace变 换法解此方程) 设x0()分x(p),且x(O)=A,x0(0)=B,则, 元(1)>px0(P)-x0(0)=px0(p)-A 元(1)分>p2x(P)-px0(0)-60(0)=p2x0(p)-PA-B, 由此可以得到x(p)的方程, (p2+2y+(p)=pA+B+24,即 A+B+2%4 x0(P) P4+B+2y4 p- +2yp+Oo pA+B+2yA (p+)+0-y7 利用 sin ot 和位移定理,得 x0()=Aec"cos√a2-y2t B+24 sIn = Cecos√-y2t+C2e"sin√o2-y2t 其中C1C2为任意常数。 现用 Fourier变换求方程X(t)+2x()+m2x(t)=b()的一个特解x()。由于此方程 是具有阻尼的振动方程,显然x()满足条件x(=0,x(=0。 f(oe do 设x(1)x(m),利 Fourier变换 f()=√2x 的性质,有, f(o) f(ae dt x()分(-i0)x1(m) ()(-i)2x1(p)
解： 先求相应的齐次方程的通解 ( ) 0 x t ，即 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0 2 & x& 0 t + γx&0 t +ω0 x t = ，可以用 Laplace 变换或《高等数学》中解二阶常系数微分方程的方法。（下面以 Laplace 变 换法解此方程） 设 ( ) ( ) x0 t ↔ x0 p ，且 x0 (0) = A, x&0 (0) = B，则， x&0 (t) ↔ px0 ( p) − x0 (0) = px0 ( p) − A x (t) ↔ p x ( p) − px (0) − x (0) = p x0 ( p) − pA − B 2 0 0 0 2 0 && & ， 由此可以得到 ( ) x0 p 的方程， (p 2γp ω )x0 ( p) pA B 2γA 2 0 2 + + = + + ，即 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 2 2 2 2 ( ) γ ω γ γ γ ω γ γ ω γ γ γ ω γ + + − + + = + + − + − − + + = + + + + = p pA B A p i p i pA B A p p pA B A x p 利用 2 2 sin ω ω ω + ↔ p t ， 2 2 cos ω ω + ↔ p p t 和位移定理，得 C e t C e t e t B A x t Ae t t t t t 2 2 2 0 2 2 1 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 cos sin sin 2 ( ) cos ω γ ω γ ω γ ω γ γ ω γ γ γ γ γ = − + − − − + = − + − − − − 其中 1 2 C ,C 为任意常数。 现用 Fourier 变换求方程 x(t) + 2γx(t) +ω x(t) = δ (t) 2 0 && & 的一个特解 ( ) 1 x t 。由于此方程 是具有阻尼的振动方程，显然 ( ) 1 x t 满足条件 ( ) 0, ( ) 0 1 = 1 = t→±∞ t→±∞ x t x& t 。 设 ( ) ~ ( ) x1 t ↔ x1 ω ，利 Fourier 变换 = = ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ − f f t e t f t f e i t i t ( ) d 2 1 ( ) ~ ( ) d ~ 2 1 ( ) ω ω π ω ω ω π 的性质，有， ( ) ~ ( ) ( ) x&1 t ↔ −iω x1 ω ( ) ~ ( ) ( ) 1 2 & x& 1 t ↔ −iω x p
(t-r) 由此得到关于x(a)的方程,-o2x1(o)-12yoi1(o)+ax(o) e,即 x(0)=-~1 2T +i2yo-o 01O-02 其中,a=√a-y2-y,o1=-√o-y2-1y,由逆变换,得 x(0*T2T o V2r(o-o, Mo-oy eado=-LL a)a-2) 0 t<T oa 上面的积分由留数定理求得,当t-x<0时,补充上半圆周,取上半平面。当 t-r>0时,补充下半圆周,取下半平面。 因此,方程的通解为 x()=x()+x1(D) e"(cos 0g -ri +C2e" sin 00 -)+r I e"rle-n) sin o-r G-r) 4用变换解积分方程a43a4=+b,0<a 解: 方程两边同乘以 变为 f(5) 5)+ 对方程作 Fourier变换,左边是卷积积分形式,因此是-2的象函数与f(x) 的象函数的乘积, f(x)←>f(k)
ωτ π δ τ i t e 2 1 ( − ) ↔ ， 由此得到关于 ( ) ~x1 ω 的方程， ωτ π ω ω γω ω ω ω i x i x x e 2 1 ( ) ~ ( ) ~ ( ) 2 ~ 1 2 1 1 0 2 − − + = ，即 ( )( ) 1 2 2 0 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ~ π ω γω ω π ω ω ω ω ω ωτ ωτ − − = − + − = − i i e i e x ， 其中，ω = ω − γ − iγ 2 2 1 0 ，ω = − ω − γ − iγ 2 2 1 0 ，由逆变换，得 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) − − > − < = − − = − − − = − − − ∞ −∞ − ∞ −∞ − ∫ ∫ ω γ τ τ ω γ τ ω π ω ω ω ω ω π π ω ω ω ω γ τ ω ωτ ω ωτ e t t t e e e e x t t i t i i t i sin 1 0 d 2 1 d 2 1 2 1 ( ) 2 2 0 2 2 0 1 2 1 2 1 上面的积分由留数定理求得，当t −τ < 0 时，补充上半圆周，取上半平面。当 t −τ > 0时，补充下半圆周，取下半平面。 因此，方程的通解为 ( ) ( ) ( ) e (C t C e t) e C t C e t e t x t x t x t t t t t t 2 2 2 0 2 2 1 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 1 0 0 1 cos sin sin 1 cos sin ( ) ( ) ( ) ω γ ω γ ω γ τ ω γ ω γ ω γ γ γ γ γ γ τ = ′ − + ′ − − − − = − + − + = + − − − − − − 4. 用 Fourier 变换求解积分方程 ( )2 2 2 2 1 d ( ) x a x b f + = − + ∫ ∞ −∞ ξ ξ ξ ，(0 < a ≤ b)。 解： 方程两边同乘以 2π 1 ，变为 ( )2 2 2 2 1 2 1 d ( ) 2 1 x a x b f + = − + ∫ ∞ −∞ π ξ ξ ξ π 对方程作 Fourier 变换，左边是卷积积分形式，因此是 2 2 1 x + a 的象函数与 f (x) 的象函数的乘积， ( ) ~ f (x) ↔ f k
1 (2n]Res) (2m Re < -Eai 同样 z1。-_1。- /2r x2+b 2 6 因此,我们有, ∫(k)= a,所以 2t b f(x 1a。-b-a)edk Met-ocoskrdk b= 6(x) b=a 其中用到了积分 e cosoxax b
( ) ( ) a k ak z ai ikz ak z ai ikz ikx e a e k a z a e i e k a z a e i e x x a x a − = − − =− − ∞ −∞ − = = < + = > + − = + ↔ + ∫ 1 2 ( 0) 1 2 2 Res 2 1 ( 0) 1 2 2 Res 2 1 d 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 π π π π π π π π 同样， b k b k e b e x b b − − ↔ ⋅ = + 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 π π π 因此，我们有， a k b k e b e a f k − − ⋅ = 2 1 1 2 ( ) ~ π ，即 ( ) b a k e b a f k − − = 2π 1 ( ) ~ ，所以， ( ) ( ) [ ] ( ) = = − + − = = = ∫ ∫ ∞ − − ∞ −∞ − − x b a b a b b a x a b a e kx k b a e e k b a f x b a k ikx b a k ( ), , ( ) cos d 1 d 2 1 2 1 ( ) 2 2 0 δ π π π π 其中用到了积分 2 2 0 cos d a b a e bx x ax + = ∫ ∞ −