复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义，A）08 Fourier变换和色散关系

6z08 a Fourier变挽nb (a) lim In(x)=-=lo,故在x=0的峰随n→∞可达任意高 I,(xo) sin n xo 又:x0≠0 lo 只要偏离中心点x=0,函数值与中心值之比趋于0,即:峰可任意窄 (b)limIn(x)dx= dx x=il, dt=1(第四章例题 所以我们有:1(x)= .人kxk=msnx 例题:f(x)=e-hm),a>0,求f(k) -xfMore-ikx dx= (x+kwd2 Pe-wdAA dx=wo√r 其中利用了:e可xdx=W0Vr,可以是复数,这一等式的证明见第二章最后一个例题的推论。 ▲本例说明高斯分布的 Fourier变换依然是高斯分布(差一常数因子) 物理上,高斯光束在横向是高斯分布的 因此它必定是一些波矢量的横向分量也服从高斯分布的多个平面波的叠加 并且,光束越窄(对应于a越大)所含的波矢量越“多 在实空间的宽度~w0,在k空间宽度、2 二者之积~2

(a) lim x0 In(x) = n π = I0, 故在 x = 0 的峰随 n  ∞ 可达任意高 又：∀ x0 ≠ 0, In(x0) I0 = sin n x0 n x0  0， 只要偏离中心点 x = 0，函数值与中心值之比趋于 0，即：峰可任意窄。 (b) lim n∞-∞ +∞ In(x) x = lim n∞-∞ +∞ sin n x π x x x = t/n -∞ +∞ sin t π t t = 1 （第四章例题 ） 所以我们有 ： I(x) = 1 2 π -∞ ∞  k x k = lim n∞ sin n x π x = δ(x) ☺ 例题：f (x) = -(x/w0)2 , α > 0，求 f  (k) 解：f  (k) = -∞ ∞ -(x/w0)2 - k x x = -∞ ∞ -w0 -2( x+ k w0 2/2)2 -w0 2 k2/4 x = w0 π -w0 2 k2/4 其中利用了 ：-∞ ∞ -w0 -2( x+z)2 x = w0 π , z 可以是复数 ，这一等式的证明见第二章最后一个 例题的推论 。 ▲ 本例说明高斯分布的Fourier变换依然是高斯分布（差一常数因子） 物理上，高斯光束在横向是高斯分布的 ， 因此它必定是一些波矢量的横向分量也服从高斯分布的多个平面波的叠加 。 并且，光束越窄 （对应于 α 越大） 所含的波矢量越 “多”。 在实空间的宽度 ∼ w0, 在 k 空间宽度 ∼ 2 w0 二者之积 ∼ 2 6 z08a Fourier 变换.nb

z08 a fourier变nb7 Clear [f, g] g[k Pot[【x,1],q【x,1],(x,-9,9}, Plotsty1e→{Rd),(B1ue, Dashing [o.02] AxesLabel -(None, style["a=l", 14]), PlotRange+[0, 1.11, PlotLegends→ Placed LineLegend[style"f(x)",FontFamily+"Times",Italic,Bold,10] style["f(k)",FontFamily +"Times", Italic, Bold, 10F egendMarkersize+(22,1),(Scaled[[68, 0.6)1,(0,0.2))1 g2=Plot[(f[x, 51, g[x, 51),(x,-9, 9), Plotstyle+(Red,(Blue,Dashing[o021)) Axeslabe1→{None,sty1e【"a=5",14]},P1 legends→ Placed [LineLegend[style["f(x)",FontFamily+"Times",Italic,Bold,10] e["f(k)",FontFamily+"Times", Italic, Bold, 10F LegendMarkersize+(22, 1),(Scaled[(68,0.6), (0,0.2)31 Grid[[igl, Spacer[5], g2]]] a=5 f(k)

Clear[f, g]; f[x_, a_] := Exp[- a x2]; g[k_, a_] := π α Exp- k2  (4 a) g1 = Plot{f[x, 1], g[x, 1]}, {x, -9, 9}, PlotStyle  {{Red}, {Blue, Dashing[0.02]}}, AxesLabel  {None, Style["α=1", 14]}, PlotRange  {0, 1.1}, PlotLegends  PlacedLineLegendStyle["f(x)", FontFamily  "Times", Italic, Bold, 10], Style"f  (k)", FontFamily  "Times", Italic, Bold, 10, LegendMarkerSize  {22, 1}, {Scaled[{.68, 0.6}], {0, 0.2}}; g2 = Plot{f[x, 5], g[x, 5]}, {x, -9, 9}, PlotStyle  {Red, {Blue, Dashing[0.02]}}, AxesLabel  {None, Style["α=5", 14]}, PlotLegends  PlacedLineLegendStyle["f(x)", FontFamily  "Times", Italic, Bold, 10], Style"f  (k)", FontFamily  "Times", Italic, Bold, 10, LegendMarkerSize  {22, 1}, {Scaled[{.68, 0.6}], {0, 0.2}}; Grid[{{g1, Spacer[5], g2}}] f(x) f  (k) -5 0 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 α=1 f(x) f  (k) -5 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 α=5 E(x, y) = -∞ ∞ -w0 2 α2/4  (α x +β y) α, β = k2 - α2 , k = 2 π λ z08a Fourier 变换.nb 7

8z08 a Fourier变挽nb gaussbeam [wo,x,y] NIntegrateExp[-wo2 a2] Expiax+iv((2 x)2-a)y],(a,-1, 1) time=Timing [tbl=Table[x, y, Abs[gaussbeam[4, x, y1]2) (x,-xm, xm,xm/80),(y,-ym, ym, ym/100)1 time[[1]] tbll Flatten[tbl,1] g1 =ListcontourPlot[tbll, Contours +50, Contourstyle→None, Colorfunction→" Rainb。w AspectRatio- ym/xm, Ticks +[[-15,0, 15],[-40,-20,0,20,4011 q2=Plot[Abs[ gaussbeam【2,x,0]12,{x,-Ⅻm,xm}, PlotRange→M1] Grid[[[gl, Spacer [30], 92)11 200.617 目例题:试证:l= sink dxe -e-k k>o 证:可试着用留数定理求积分,现利用正弦变换求之。 f(x)=-是奇函数,正弦变换sk)=f(x) sinkxd3 题中等式等价于证明f()的正弦变换为:xc+k=1 因而应该证明f(x)的正弦变换为l。反过来,只需证明I的反正弦变换为f(x) 故只需证明:2 fs(k)sin kxdk ,即只需证明 e-k(l-ix) e-hI 直接积分 e-k sin kxdk lelkx-e-ika)dk

xm = 20; ym = 50; gaussbeam[w0_, x_, y_] := NIntegrateExp-w02 α2 Exp α x +  √(2 π)2 - α2 y, {α, -1, 1}; time = Timingtbl = Tablex, y, Abs[gaussbeam[4, x, y]]2, {x, -xm, xm, xm / 80}, {y, -ym, ym, ym / 100}; time[[1]] tbl1 = Flatten[tbl, 1]; g1 = ListContourPlot[tbl1, Contours  50, ContourStyle  None, ColorFunction  "Rainbow", AspectRatio  ym / xm, Ticks  {{-15, 0, 15}, {-40, -20, 0, 20, 40}}]; g2 = PlotAbs[gaussbeam[2, x, 0]]2, {x, -xm, xm}, PlotRange  All; Grid[{{g1, Spacer[30], g2}}] 200.617 -20 -10 0 10 20 -40 -20 0 20 40 -20 -10 10 20 0.2 0.4 0.6 0.8 ☺ 例题：试证：I = 0 ∞ x 1 + x2 sin k x x = π 2 -k, k > 0 证：可试着用留数定理求积分 ，现利用正弦变换求之 。 f (x) = x 1 + x2 是奇函数 ，正弦变换 f  S(k) = 0 ∞ f (x)sin k x x = I 题中等式等价于证明 f (x) 的正弦变换为 ： π 2 -k = I 因而应该证明 f (x) 的正弦变换为 I。反过来，只需证明 I 的反正弦变换为 f (x)。 故只需证明 ： 2 π 0 ∞ f  S(k) sin k x k = x 1 + x2 ，即只需证明 ： 2 π 0 ∞ π 2 -k sin k x k = x 1 + x2 直接积分：0 ∞ -k sin k x k = 1 2  0 ∞ -k k x - - k x k = 1 2  - -k(1- x) 1 -  x 0 ∞ + -k(1+ x) 1 +  x 0 ∞ = x 1 + x2 8 z08a Fourier 变换.nb

z08 a Fourier变换mb9 Integrate Sin [k x], [x,0, oo], Assumptions *[k>0] 1+X 0例题(x.00.求0,注意/在x=0不连 J()=f(x)e-ikxdx=e-ikr-Bxdx B-ik k+bB+k 验证,做反变换能否得到f(x) f(k)edko dka B-ik 利用ckx=co 奇函数,积分为0 (B cos kx+ksin kx)-i(B sin kx+k cos kx) (B cos kx+ ksin kx) >0时:(以下用到 Jordan引理) 第一项 dk= Reli Res 2 2+k2 第二项。1∩ k sin k. dk=-e-Bx(求法与第一项类似) x=0时:第一项=1C°B dk 第二项=0 P2+k2 x<时:第一项=1…x,第二项=-1 从而:f-[7()= x=0在第一类间断点x=0,f-(4)=(0)+f0-) e-Bx x>0 4B-0时,/)={x0一/=B-(x01 caviside step function(阶跃函数) 已求得:fUf(x)=f(k) B-ik B2+k2 B-ik 于[H(x) f flf(r) =--?非也! B+82尸+k2 0k≠0 设:=cOk),c为常数 其中:6(x-a)= 0x≠a 且|(x-a)dx=1称为Dac6函数 常数c=?涉及Dac6函数的证明:等式co(k)=两边同时积分 B c「o(k)dk=c=|t1dk= dk=2 i Res 丌o(k)

Integrate x 1 + x2 Sin[k x], {x, 0, ∞}, Assumptions  {k > 0} -k π 2 ☺ 例题：f (x) =  0 x < 0 -β x x ≥ 0 , β > 0，求 f  (k)，注意 f (x) 在 x = 0 不连续。 解： f  (k) = -∞ ∞ f (x) - k x x = 0 ∞ - k x-β x x = 1  k + β = β -  k β2 + k2 验证，做反变换能否得到 f (x) : ℱ-1f  (k) = 1 2 π -∞ ∞ f  (k)  k x k = 1 2 π -∞ ∞ β -  k β2 + k2  k x k, 利用  k x = cos k x +  sin k x = 1 2 π -∞ ∞ (β cos k x + k sin k x) -  (-β sin k x + k cos k x) 奇函数，积分为0 β2 + k2 k = 1 2 π -∞ ∞ (β cos k x + k sin k x) β2 + k2 k x > 0 时：（以下用到 Jordan引理 ） 第一项 = 1 2 π -∞ ∞ β cos k x β2 + k2 k = 1 2 π Re -∞ ∞ β  k x β2 + k2 k = Re  Res β  k x k2 + β2 k= β = 1 2 -β x 第二项 = 1 2 π -∞ ∞ k sin k x β2 + k2 k = 1 2 -β x （求法与第一项类似 ） x = 0 时：第一项 = 1 2 π -∞ ∞ β β2 + k2 k = 1 2 , 第二项 = 0 x < 0 时：第一项 = 1 2 β x, 第二项 = - 1 2 β x 从而：ℱ-1f  (k) = 0 x < 0 1 2 x = 0 -β x x > 0 在第一类间断点 x = 0，ℱ-1f  (k) = 1 2 [f (0+) + f (0-)] ▲ β  0+ 时，f (x) =  0 x < 0 -β x x ≥ 0 ⟹ f (x) = H(x) =  0 x < 0 1 x ≥ 0 Heaviside step function （阶跃函数） 已求得：ℱ[f (x)] = f  (k) = β -  k β2 + k2 ℱ[H(x)] = ℱlim β0+ f (x) = lim β0+ℱ[f (x)] = lim β0+ β -  k β2 + k2 = lim β0+ β β2 + k2 t1 -  k β2 + k2 t2 = -  k ? 非也！ t1 = lim β0+ β β2 + k2 = 0 k ≠ 0 ∞ k = 0 ⟹ 设： t1 = c δ(k), c 为常数， 其中：δ(x - a) = 0 x ≠ a ∞ x = a 且 -∞ +∞ δ(x - a) x = 1 称为 Dirac δ 函数。 常数 c =？涉及 Dirac δ 函数的证明 ：等式 c δ(k) = t1 两边同时积分 c -∞ ∞ δ(k) k = c = -∞ ∞ t1 k = lim β0+ -∞ ∞ β β2 + k2 k = 2 π  Res β β2 + k2 k= β = π t1 = π δ (k) z08a Fourier 变换.nb 9

10z08 a fourier变换nb 利用Drac- Plemel关系式 0+时 ir6(u-cb)P表示 Cauchy主值 (证明见下) 0-0±lE-co 空 P 从而:元H--=09-1=B此即阶跃函数的F变换 ▲反过来由阶跃函数的像函数,求其原函数。 (k)=[H(x)=r(k)-i 原函数:I(x)= A(kekik 当x>0时:A=9C。1edk=,其中利用了约当引理,沿如下左图路径积分 当x=0时:A=P dk=0 主意仅在求积分主值时才有A=0,积分的一般值是发散的 当x<0时:A= preaid=-1其中利用了约当引理,沿如下右图路径积分 R Rx -R R 试比较:H(x) x< x≥0 Heaviside step function(阶跃函数) 从而:lx)= 在第一类间断点收敛于左右极限之平均值 0 ▲ Dirac-Plemelj关系式的证明:E→0+时: 干丌o( -0±tEd- 涉及δ函数,利用“物理学家的证明方法”。实际上,δ函数也常在与其它函数相乘求积分时才显示其用处 当然,这种所谓“物理学家的证明方法”实际上是广义函数理论的儿童版。 考虑积分:F(=) dt,积分沿实轴从t=a到t=b,a,b均为实数 (若f()不是多值函数,则不必定义t的辐角) 显然,当复变量二不在实轴时,F()是 Cauchy型积分形式,因而是解析的。 当复变量:趋于实轴上某个介于b之间的值时(<mb,--m 根据极限方式不同,F(x0)可以有以下几种不同的取值: f(odt (a)F(0=m(x+16)=m 表示二从上半平面趋于实轴上的点x

t2 = lim β0+  k β2 + k2 =  2 lim β0+ 1 k +  β + 1 k -  β 利用 Dirac - Plemelj 关系式： （证明见下 ） ε  0+ 时： 1 ω - ω0 ±  ε =  ω - ω0 ∓  π δ (ω - ω0)  表示 Cauchy 主值 t2 =  2  k -  π δ(k) +  k +  π δ(k) =   k , 从而： ℱ[H (x)] = t1 - t2 = π δ (k) -   k = H  (k) , 此即阶跃函数 的 Fourier 变换 ▲ 反过来由阶跃函数的像函数，求其原函数。 H  (k) = ℱ[H(x)] = π δ(k) -   k 原函数：I(x) = 1 2 π -∞ +∞ H  (k)  k x k = 1 2 π -∞ +∞ π δ(k) -   k  k x k = 1 2 -  2 π  -∞ +∞ 1 k  k x k 设此项为 A 当 x > 0 时：A =  -∞ +∞ 1 k  k x k =  π， 其中利用了 约当引理，沿如下左图路径积分 当 x = 0 时：A =  -∞ +∞ 1 k k = 0， 注意 仅在求积分主值时才有 A = 0，积分的一般值是发散的 。 当 x < 0 时：A =  -∞ +∞ 1 k  k x k = - π，其中利用了 约当引理，沿如下右图路径积分 x y CR Cr -R R L1 L2 x y CR Cr -R R L1 L2 从而：I(x) = 1, x > 0 1 2 , x = 0 0, x < 0 试比较：H (x) =  0 x < 0 1 x ≥ 0 Heaviside step function （阶跃函数 ） 在第一类间断点收敛于左右极限之平均值 ▲ Dirac-Plemelj 关系式的证明：ε  0+ 时： 1 ω - ω0 ±  ε =  ω - ω0 ∓  π δ(ω - ω0) 涉及 δ 函数，利用 “物理学家的证明方法 ”。实际上，δ 函数也常在与其它函数相乘求积分时才显示其用处 。 当然，这种所谓 “物理学家的证明方法 ” 实际上是广义函数理论的儿童版 。 考虑积分：F(z) = a b f (t) t - z t, 积分沿实轴从 t = a 到 t = b, a, b 均为实数 （若 f (t) 不是多值函数 ，则不必定义 t 的辐角）。 显然，当复变量 z 不在实轴时 ，F(z) 是 Cauchy 型积分 形式，因而是解析的 。 当复变量 z 趋于实轴上某个介于 a、b 之间的值 x0 时 （a < x0 < b）, F(z)  F(x0) = a b f (t) t t - x0 根据极限方式不同 ，F(x0) 可以有以下几种不同的取值 ： (a) F+(x0) = lim ε0+ F(x0 +  ε) = lim ε0+ a b f (t) t t - x0 -  ε , — 表示 z 从上半平面趋于实轴上的点 x0 10 z08a Fourier 变换.nb