2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上，1(1）若反常积分』。(1+x)ad收敛,则(A) a<1且b>1.(B) a>1且b > 1(C) a< 1且a+b > 1.(D) a>1且a+b>1.【答案】(C)dx【解析】排除法.根据被积函数特点，取a=0，(1+x)=-6(+)-1m(+x)-1)收敛，只需保证b>1即可.说明，a<1可以使原广义积分收敛，排除 Blin1-b和D.xdx[ (1+ x) - 1dx = [ dx [*_1dx再取a=-1,b=2，(1+ x)2 Jo1+xJo (1+x)3(1+x)?= In(1 + x)*+=+80，发散，说明满足A的条件，但是原广义积分发散，排除A.(2) 已知两数(s)=[2(x-1),1则 ()的一个原菌数是CIn x,x≥l,(x - 1)2, x <1,(x - 1)2,x < 1,(A) F(x) =(B) F(x) =[x(ln x - 1), x ≥ 1.x(1n x + 1) - 1, x ≥ 1.(x - 1)2,(x - 1)2,x<1,x< 1,(D) F(x) =(C) F(x) =x(1n x +1) + 1, x ≥ 1.x(1n x - 1) + 1, x ≥ 1.【答案】(D)【解析】当x<1时，F(x)=[2(x-1)dx=x2-2x+C;当x≥1时，F(x)=Jinxdx=xlnx-x+C2;且limF(x)=lim(x2-2x+C)=-1+Cj,lim F(x)= lim(xlnx-x+C,)=-1+C,. 由 lim F(x)= limF(x)=F(I)可知: C=C,I
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 1 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1) 若反常积分 0 1 ( ) 1 a b dx x x 收敛，则 ( ) (A) a 1且b 1. (B) a 1且b 1. (C) a 1且 a b 1. (D) a 1且 a b 1. 【答案】(C) 【解析】排除法.根据被积函数特点，取a 0 ， 1 0 0 1 (1 ) (1 ) 1 b b dx x x b 1 1 1 [ lim 1] 1 (1 )b b x x 收敛，只需保证b 1即可.说明， a 1可以使原广义积分收敛，排除 B 和 D. 再取a b 1, 2 ， 2 2 2 0 0 0 0 (1 ) 1 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) xdx x dx dx dx x x x x 0 0 1 ln(1 ) 1 x x ，发散，说明满足 A 的条件，但是原广义积分发散，排除 A. (2) 已知函数 2 1 1 1 ( ), , ( ) ln , , x x f x x x 则 f x( )的一个原函数是 （ ） (A) 2 1 1 1 1 ( ) , , ( ) (ln ), . x x F x x x x (B) 2 1 1 1 1 1 ( ) , , ( ) (ln ) , . x x F x x x x (C) 2 1 1 1 1 1 ( ) , , ( ) (ln ) , . x x F x x x x (D) 2 1 1 1 1 1 ( ) , , ( ) (ln ) , . x x F x x x x 【答案】(D) 【解析】当 x 1时， 2 1 F x x dx x x C ( ) 2( 1) 2 ； 当 x 1时， 2 F x xdx x x x C ( ) ln ln ；且 2 1 1 1 1 lim ( ) lim( 2 ) 1 x x F x x x C C ， 2 2 1 1 lim ( ) lim( ln ) 1 x x F x x x x C C .由 1 1 lim ( ) lim ( ) (1) x x F x F x F 可知：C C 1 2
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案[×-2x+C,x<1.当C=1时，对应的原函数为D.取C,=C,=C，其原函数为F(x)：xlnx-x+C.x≥1(3)若=(1+x2)2+,=(1+x)+V+x是微分方程y+p(x)=q(x)的两个解，则g(x）=()xx(A) 3x(1 + x2). (B) -3x(1 + x2).(C)(D)1 + x21 + x2【答案】（A）【解析】因为y(x)=(1+x)2-/1+x和y(x)=(1+x)*+/1+x?为y+p(x)y=q(x)的两个解，那么，(x)-(x)=2V/1+x为+p(x)y=0的解.代入该齐次方程可得2xX+p(x).2/1+x=0,故，p(x)=-.再将y(x)=(1+x2)2+V1+x代入原方程可得/i+x?1+ xxx4x(1+ x)1[(+)+V1+)=g(),，所以，()=3(+x),， 选择AVi+x?x,x≤0,则(4）已知函数f(x）=()111= 1, 2,.nnn+ln(A）x=0是f(x)的第一类间断点(B）x=0是f(x)的第二类间断点(C）f(x)在x=0处连续但不可导.(D）f(x)在x=0处可导【答案】(D)1【解析】因为limf(x)=limx=0，limf(x)=lim=0，可得，limf(x)=limf(x)=f(0)，X-→0n-onx→0x-→0f(x)- f(O)x-0故f(x)在x=0点连续.又因为f"(O)=limlin1x-0x→0X→0-x-0111f(x)- f(0) .1nf'(0)= limlim而有n≤<n+l，当x→0+时，n→<x≤x-0x→0*x-0n+1X→01x1n+1可得1≤1(x→0t），那么f(0)=1.所以，f(x）在x=0点可导.选择D.nnx2
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 2 取C C C 1 2 ，其原函数为 2 2 , 1 ( ) ln , 1 x x C x F x x x x C x .当C 1时，对应的原函数为 D. (3) 若 2 2 2 2 2 2 y x x y x x ( ) , ( ) 1 1 1 1 是微分方程 y p x y q x ( ) ( ) 的两个解，则q x( ) （ ） (A) 2 3 1 x x ( ). (B) 2 3 1 x x ( ). (C) 2 1 . x x (D) 2 1 . x x 【答案】(A) 【解析】因为 2 2 2 1 y x x x ( ) (1 ) 1 和 2 2 2 2 y x x x ( ) (1 ) 1 为 y p x y q x ( ) ( ) 的两个解， 那么， 2 2 1 y x y x x ( ) ( ) 2 1 为 y p x y ( ) 0的解.代入该齐次方程可得 2 2 2 ( ) 2 1 0 1 x p x x x ，故， 2 ( ) 1 x p x x .再将 2 2 2 2 y x x x ( ) (1 ) 1 代入原方程可得 2 2 2 2 2 2 4 (1 ) [(1 ) 1 ] ( ) 1 1 x x x x x x q x x x ，所以， 2 q x x x ( ) 3 (1 ) ，选择 A. (4) 已知函数 0 1 1 1 1 2 1 , , ( ) , , , , , x x f x x n n n n 则 （ ） (A) x 0是 f x( )的第一类间断点. (B) x 0是 f x( )的第二类间断点. (C) f x( )在 x 0处连续但不可导. (D) f x( )在 x 0处可导. 【答案】(D) 【解析】因为 0 0 lim ( ) lim 0 x x f x x ， 0 1 lim ( ) lim 0 x n f x n ，可得， 0 0 lim ( ) lim ( ) (0) x x f x f x f ， 故 f x( ) 在 x 0 点连续.又因为 0 0 ( ) (0) 0 (0) lim lim 1 x x 0 0 f x f x f x x ， 0 0 1 ( ) (0) (0) lim lim x x 0 0 f x f n f x x ，而 1 1 1 x n n ，有 1 n n 1 x ，当 x 0 时， n ， 可得 1 1 1 1( 0 ) n x nx n ，那么 f (0) 1 .所以， f x( ) 在 x 0 点可导.选择 D
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案(5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是(2(A）AT与BI相似(B）A-I与B-相似(C）A+A与B+B相似(D）A+A-"与B+B-"相似【答案】（C)【解析】A与B相似，即存在可逆矩阵P，使P-AP=B，则B"=(P-"AP) =P"A (P-") =P"A(P")"=(P")")"A(P")",即(A) 是正确说法;B-"=(P-"AP)"= P"A-"(P-")"= P-"A-"P,进一步有B+B-=P-AP+P-A-"P=P-(A+A-")P，即（B）（D）都是正确说法;故选（C）：(6）设二次型f(x2)=+x++4x+4x+4x，则f(）=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为(A）单叶双曲面.(B)双叶双曲面(C)椭球面.(D)柱面.【答案】（B）(1 22)2.2，由【解析】二次型f（，）对应的矩阵A=1(2 21)[2-1-2-2-2=(-5)(+1)° = 0[E-A|=-2元-1-2-2入-1得，A的特征值为=5,==-1，所以经过正交变换后，f(,2,)=5--于是(，xz,)=2表示曲面5y--y=2，是双叶双曲面.故选（B）。(7)设随机变量X~N(μ,α)(α>0),记p=P(X≤μ+2),则((A）p随着μ的增加而增加(B）p随着α的增加而增加3
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 3 (5) 设 A ，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是 ( ) (A) T A 与 T B 相似. (B) 1 A 与 1 B 相似. (C) T A A 与 T B B 相似. (D) 1 A A 与 1 B B 相似. 【答案】（C） 【解析】 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 P ，使 1 P AP B ，则 1 1 1 1 1 1 T T T T T T T T T T T B P AP P A P P A P P A P ，即（A）是正确说法； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B P AP P A P P A P ，进一步有 1 1 1 1 1 1 B B P AP P A P P A A P ，即（B）（D）都是正确说法； 故选（C）. (6) 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) 4 4 4 ，则 1 2 3 f x x x ( , , ) 2 在空间直 角坐标下表示的二次曲面为 ( ) (A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C) 椭球面. (D)柱面. 【答案】（B） 【解析】二次型 1 2 3 f x x x , , 对应的矩阵 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A ，由 2 1 2 2 2 1 2 5 1 0 2 2 1 E A 得，A 的特征值为 1 2 3 5, 1，所以经过正交变换后， 2 2 2 1 2 3 1 2 3 f x x x y y y , , 5 ， 于是 1 2 3 f x x x , , 2 表示曲面 2 2 2 1 2 3 5 2 y y y ，是双叶双曲面.故选（B）. (7) 设随机变量 2 X N ~ ( , ) ( 0) ，记 2 p P X ，则 ( ) (A) p 随着 的增加而增加. (B) p 随着 的增加而增加
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案(C)p随着μ的增加而减少(D）P随着的增加而减少【答案】B【解析】P(X ≤μ+g")=0("+o*-))=Φ(α)o由于正态分布的分布函数是单调递增的，所以PX≤μ+α随着α的增加而增加（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A，A，A，且三种结果发生的概率均为，将试验E独3立重复做2次，X表示2次试验中结果A发生的次数，Y表示2次试验中结果A发生的次数，则X与Y的相关系数为()1111(B)(C)(D)(A)131223【答案】（A)【解析】方法一：(X,Y)的概率分布为X201Y211019-992-92-91012009222E(XY)=E(X)=E(Y)所以CoV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=39984E(X)=E()=D(X)= D(Y)=991Cov(X,Y)所以相关系数Px=2/D(X) ·/D(Y)4
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 4 (C) p 随着 的增加而减少. (D) p 随着 的增加而减少. 【答案】B 【解析】 2 2 P X{ } ( ) ( ) 由于正态分布的分布函数是单调递增的，所以 2 P X{ } 随着 的增加而增加. (8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 1 2 3 A A A , , ,且三种结果发生的概率均为 1 3 ,将试验 E 独 立重复做 2 次， X 表示 2 次试验中结果 1 A 发生的次数，Y 表示 2 次试验中结果 2 A 发生的次数， 则 X 与Y 的相关系数为 （ ） (A) 1 2 (B) 1 3 (C) 1 3 (D) 1 2 【答案】(A) 【解析】方法一： ( , ) X Y 的概率分布为 X Y 0 1 2 0 1 9 2 9 1 9 1 2 9 2 9 0 2 1 9 0 0 2 ( ) ( ) 3 E X E Y ， 2 ( ) 9 E XY ，所以 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) 9 Cov X Y E XY E X E Y 2 2 8 ( ) ( ) 9 E X E Y ， 4 ( ) ( ) 9 D X D Y 所以相关系数 ( , ) 1 ( ) ( ) 2 XY Cov X Y D X D Y
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案方法二：设Z表示2次试验中结果A发生的次数，则X+Y+Z=2。根据方差的性质有D(Y)=D(2-X-Z)=D(X+Z)=D(X)+D(Z)+2Cov(X,Z)，注意到D(Y)=D(X)=D(Z),Cov(X,Z)=Cov(X,Y)，从而 D(X)=-2Cov(X,Y)。所以根据相关Cov(X,Y)Cov(X,Y)1系数的定义有Pxy=29JD(X)/D(Y)VD(X)/D(X)二、填空题：9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上["tln(1+tsint)dt(9) lim=x->01-cosx?【答案】】2[' t In(1+ tsin t)dt['t In(1 + t sin t)dtx In(1+ x sin x)【解析】limlimlim2x311-cosx2r→(r(x-→>021xsinx= lim22x2(10)向量场A(x,y,)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=【答案】(O,1,y-1)+~jo+koarotA=【解析】=(0,1,y-1)OzayaxNxy+y+z(11)设函数(u,v)可微，z=z(x,y)由方程(x+1)z-y2=xf(x-z,y)确定，则dz l(o,1)=5
2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 5 方法二： 设 Z 表示 2 次试验中结果 3 A 发生的次数，则 X Y Z 2。 根据方差的性质有 D Y D X Z D X Z D X D Z Cov X Z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) = 2 2 ，注意 到 D Y D X D Z Cov X Z Cov X Y ( ) ( ) ( ), ( , ) ( , ) = ，从而 D X Cov X Y ( ) ( , ) = 2 。所以根据相关 系数的定义有 1 = 2 XY Cov X Y Cov X Y D X D Y D X D X ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 0 2 0 ln 1 sin lim _. 1 cos x x t t t dt x 【答案】 2 1 【解析】 2 0 0 1 cos ln(1 sin ) lim x t t t dt x x 4 0 0 2 1 ln(1 sin ) lim x t t t dt x x 3 0 2 ln(1 sin ) lim x x x x x 2 1 2 sin lim 2 0 x x x x . (10)向量场 A x y z x y z xy z , , i j k 的旋度rotA _. 【答案】(0,1, y 1) 【解析】 (0,1, 1) y x y z xy z x y z i j k rot A (11) 设函数 f u v , 可微， z z x y , 由方程 2 2 x z y x f x z y 1 , 确定，则 0,1 dz| _.