()= (0)+ (Xx-)+(x-0) +(x-)2- (0)+ g(x-x0) +(x- 0),2可知当xx充分接近x时，有()-()>0，与(x)在x。处取到极大(x-xo)值矛盾，所以"(x）≤0。f(x)在x。处取到极小值的情况可同样证明。4.设f(x)=(x-a)"p(x),p(x)在x=a连续且(a)±0，讨论f(x)在x=a处的极值情况。解首先有f(a)=0。当n为偶数时(x-a)"≥0，当p(a)>0时，f(x)=(x-a)"p(x)在x=a附近非负，所以x=a为函数f(x)的极小值点；而当p(a)<0时，函数(x)=(x-a)"p(x)在x=α附近非正，所以x=a为函数的极大值点。当n为奇数时(x-a)"在x=α附近变号，p(a)0，f(x)=(x-a)"(p(x)在x=a附近也变号，所以x=a非极值点。5.设f(x)在x=a处有n阶连续导数，且f(a)=f"(a)=…=f(n)(a)=0,f(")(a)0，讨论f(x)在x=α处的极值情况。解()=(a)+((x-a)，位于o与x之间。由于(x)在x=a处有n!n阶连续导数，f(n)(a)0，所以当x位于x=a附近，f(")()不变号，利用上题的结果可知：当n为偶数时，若f(")(a)>0，则x=a为函数f(x)的极小值点；若("(a)<0，则x=α为函数f(x)的极大值点。当n为奇数时，x=a不是函数f(x)的极值点。141
0 2 2 0 0 0 0 0 "( ) ( ) ( ) '( )( ) ( ) (( ) ) 2 f x f x = + f x f x x − x + x − x + o x − x 0 2 2 0 0 "( ) ( ) ( ) (( ) ) 2 f x = + f x x − x + o x − x0 ， 可知当 0 x ≠ x 充分接近 x0 时，有 0 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x f x x x − > − ，与 在 处取到极大 值矛盾，所以 f x( ) x0 f ′′(x0 ) ≤ 0。 f x( )在 x0 处取到极小值的情况可同样证明。 ⒋ 设 f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( ),ϕ(x)在 x = a 连续且ϕ( ) a ≠ 0，讨论 f x( )在 x = a 处的极值情况。 解 首先有 f a( ) = 0 。 当 n 为偶数时( ) x a − n ≥ 0，当ϕ( ) a > 0 时， f x x a x n ( ) = ( − ) ϕ( )在 x = a 附近非负，所以 x = a 为函数 f x( )的极小值点；而当ϕ( ) a < 0时，函数 f x( ) = − (x a)nϕ(x)在 x = a 附近非正，所以 x = a 为函数的极大值点。 当 n 为奇数时( )n x − a 在 x = a 附近变号，ϕ( ) a ≠ 0，f x 在 x a x n ( ) = − ( ) ϕ( ) x = a 附近也变号，所以 x = a 非极值点。 ⒌ 设 f x( )在 x = a 处有n阶连续导数，且 ′ = ′′ = = = − f a f a f a n ( ) ( ) ( ) " ( ) 1 0， f a ( ) n ( ) ≠ 0，讨论 f x( )在 x = a 处的极值情况。 解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! n n f f x f a x a n ξ = + − , ξ 位于0 与 x之间。由于 f x( )在 x = a 处有 n阶连续导数， f a ( ) n ( ) ≠ 0，所以当 x 位于 x = a 附近， ( ) ( ) n f ξ 不变号， 利用上题的结果可知： 当 n 为偶数时，若 f a ( ) n ( ) > 0 ，则 x = a 为函数 f x( )的极小值点；若 ( ) ( ) 0 n f a < ，则 x = a 为函数 f x( )的极大值点。 当 n 为奇数时， x = a 不是函数 f x( )的极值点。 141
6.如何选择参数h>0，使得h-h2x3y=1元在x=±（α>0为给定的常数）处有拐点？解y()=2,()=2(-2)。，可知曲线在x=±处1元元V2h1即可。有拐点，所以取h=，V2gx2在拐点处的切线方程。7. 求v=x2 +12x(1+x-(n)=2(1-3x),可知是曲线的拐点，由于解y(x)=3.4(1+x)+3V31得到在拐点处曲线的切线方程为9V3,3V31.1x2348即：3/3x-8y-1=0和3/3x+8y-5=0。8．作出下列函数的图象（渐近线方程可利用上一节习题8的结果）：x?2x(1) y=(2) y=1+x21+x(3)y=6x2-8x+3;(4) y=(2+x)ex;er+e-x1+x(5) y=(6) y= ln21-x(8) y=3/(x-2)(x +1)2 ;(7) y= x+arccotx;1- x2(9)y=arccos1+x222x(x+2)解(1)1+ x(1 + x)(1+x)3142
6．如何选择参数h > 0 ，使得 y h e h x = − π 2 2 在 x = ±σ （σ > 0为给定的常数）处有拐点？ 解 2 2 2 2 3 3 2 2 2 (1 2 '( ) , ''( ) h x h x h h x h x y x e y x e π π − − − − − = = 2 ) ，可知曲线在 1 2 x h = ± 处 有拐点，所以取 1 2 h σ = 即可。 7．求 1 2 2 + = x x y 在拐点处的切线方程。 解 2 2 2 2 3 2 2(1 '( ) , ''( ) (1 ) (1 ) x 3x ) y x y x x x − = = + + ，可知 1 1 , 3 4 ⎛ ±⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是曲线的拐点，由于 1 3 ' 3 8 y ⎛ ⎞ ± = ± ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ，得到在拐点处曲线的切线方程为 1 3 3 1 ( ) 4 8 3 y x − = ± ∓ ， 即：3 3x − 8y −1 = 0和3 3x + 8y − 5 = 0。 8．作出下列函数的图象（渐近线方程可利用上一节习题 8 的结果）： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; ⑺ y = x + arc cot x ; ⑻ y x = − ( ) 2 1 (x + ) 3 2 ; ⑼ y x x = − + arc cos 1 1 2 2 . 解 ⑴ y x x = + 2 1 ， 2 3 ( 2) 2 ' , '' (1 ) (1 ) x x y y x x + = = + + 。 142