a11x1+a1x,+…+a1nx,= b 5、克莱姆法则:如果线性方程组2+422+…+anx=的(1) anIx,+,2x2+.+a,,=b 的系数行列式D≠0,那么这个方程组有唯一解 D, D, 其中D是将系数行列式中的第j列的元素(即x的系数)换成方程组 中的常数项b,b,…,b所构成的行列式。 克莱姆法则给出了方程组的解与方程组的系数及常数项的关系 的公式,在理论上和应用上都很重要。 若系数行列式D=0,则不能用克莱姆法则求解.此时方程组可能 有解,也可能无解,这需要根据具体情况讨论 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 如果齐次线性方程组 a21x1+a22+…+a2nxn=0 (2) 的系数行列式D≠0那么方程组只有零解。若系数行列式D=0,则齐 次线性方程组有非零解。反之亦然。 注意:克莱姆法则只能用于方程组的个数与未知量个数相等且行 列式不等于零的线性方程组,对于方程个数与未知量个数不等或未知 量个数与方程个数相等,但系数行列式等于零的情况,需用另外的方 法求解。 6、重要公式及结论 1)kA=k4;|4B=B4=|4B;而没有+B=4+B及AB=BA
5、克莱姆法则：如果线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 (1) 的系数行列式 D≠0，那么这个方程组有唯一解 x1= D D1 ，x2= D D2 ，…，xn= D Dn () 其中 Dj是将系数行列式中的第 j 列的元素(即 xj的系数)换成方程组 中的常数项 b1，b2，…，bm所构成的行列式。 克莱姆法则给出了方程组的解与方程组的系数及常数项的关系 的公式，在理论上和应用上都很重要。 若系数行列式 D=0，则不能用克莱姆法则求解．此时方程组可能 有解，也可能无解，这需要根据具体情况讨论。 如 果 齐 次 线 性 方 程 组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x (2) 的系数行列式 D≠0 那么方程组只有零解。若系数行列式 D=0，则齐 次线性方程组有非零解。反之亦然。 注意：克莱姆法则只能用于方程组的个数与未知量个数相等且行 列式不等于零的线性方程组，对于方程个数与未知量个数不等或未知 量个数与方程个数相等，但系数行列式等于零的情况，需用另外的方 法求解。 6、重要公式及结论 1） kA k A n = ； AB = BA = A B ；而没有 A+ B = A + B 及 AB = BA
2)范德蒙行列式:F=aa2a 题型归纳及思路提示 题型1求排列的逆序数,并判断奇偶性 例1求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性 1)53214;2)n(n-1)…21;3)135…(2n-1)246(2n)。 例2选择;与k使1)127456k9称为偶排列;2)1i25k4897称为奇排 列 例3如果排列x1x2…xn的逆序数为k,则xnxn1…x2x1的逆序数 为 题型2判断行列式中项的符号 例4在五阶行列式中,项a2a1a3a41a23的符号为 例5在四阶行列式中,带负号且包含a,和a,的项为 题型3利用定义求行列式的值 例6求下列行列式的值 02.00 0:00 00 y 0 0y.00 00 x:00
2）范德蒙行列式： − − − − = = − i j n j i n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a V 1 1 1 3 1 2 1 1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 3 ( ) 1 1 1 1 。 II 题型归纳及思路提示 题型 1 求排列的逆序数，并判断奇偶性 例 1 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性 1） 53214 ； 2） n(n −1)21 ； 3） 135(2n −1)246(2n) 。 例 2 选择 i 与 k 使 1） 1274i56k9 称为偶排列；2） 1i25k4897 称为奇排 列。 例 3 如果排列 n x x x 1 2 的逆序数为 k ，则 1 2 1 x x x x n n− 的逆序数 为 。 题型 2 判断行列式中项的符号 例 4 在五阶行列式中，项 a12a31a54a43a25 的符号为 。 例 5 在四阶行列式中，带负号且包含 23 a 和 31 a 的项为 。 题型 3 利用定义求行列式的值 例 6 求下列行列式的值 1） 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 n n − ； 2） 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 n n − ； 3） y x x y x y x y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
题型4数字型行列式的计算(注意尽量避免分数运算) 24642732 例7求下列行列式的值:1)101454344 1+x1 2) 3) 111 y 040 例8求行列式D=2222的第四行各元素的余子式之和 53-22 为 题型5n阶行列式的计算(难点) 解题方法:1)利用行列式的定义和性质;2)观察行列式的规律 3)拆行或列;4)寻找递推公式,归纳得到。 a b b 例9求Dbab 例10求Dn=10a2…0kaa2…an1≠0) 00 0 00 例11求D
题型 4 数字型行列式的计算（注意尽量避免分数运算） 例 7 求下列行列式的值： 1） 342 721 621 1014 543 443 246 427 327 − ； 2） 2 1 1 1 0 2 1 1 1 3 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 − − − ； 3） y y x x − + − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1' 1 1 1 。 例 8 求行列式 5 3 2 2 0 7 0 0 2 2 2 2 3 0 4 0 − − D = 的第四行各元素的余子式之和 为 。 题型 5 n 阶行列式的计算（难点） 解题方法：1）利用行列式的定义和性质；2）观察行列式的规律； 3）拆行或列； 4）寻找递推公式，归纳得到。 例 9 求 b b b a b a b b a b b b Dn = 。 例 10 求 ( 0) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1 0 = − − n n n a a a a a a a D 。 例 11 求 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 a a a a a x x x D n n n n − − − − − =
n 34 例12求Dn=345 n12 b 例13求D +B aB 0 B aB 00 例14证明:0 a+B…00 a-B 0 题型6抽象行列式的计算 例15设a=(10-1)y,A=aa',求E-n∈N) 例16若四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1,1f则行 列 式|B-E 例17设A为三阶方阵,团A=2,把A按列分块A=(A4,A1,A1),其中 A(=12,3)是A的第j列,则3-2A1,342,4 B r 例18设B,y是方程x+m+=0的三个根,求pa。 By 例19已知三阶实方阵A=(an)3满足1)an=A1;2)a1≠0,求A 例20设A,B均为n阶方阵,A4=2,=-3,则2AB|= 题型7克莱姆法则和范德蒙行列式德应用 例21设a1,a2…an是数域P中互不相同的数,b,b2…,b是数域P中 任意一组给定的数,证明:存在唯一的数域P上的多项式
例 12 求 1 2 1 3 4 5 2 2 3 4 1 1 2 3 − = n n n Dn 。 例 13 求 n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b D − − − − − − − − − = 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 。 例 14 证明： − − = + + + + +1 +1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 n n 。 题型 6 抽象行列式的计算 例 15 设 T = (1,0,−1) ， T A = ，求 aE A (n N) n − 。 例 16 若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 ，则行 列 式 − = − B E 1 。 例 17 设 A 为三阶方阵， A = 2 ，把 A 按列分块 ( , , ) A = A1 A2 A3 ，其中 A ( j = 1,2,3) j 是 A 的第 j 列，则 A3 − 2A1 ,3A2 , A1 = 。 例 18 设 , , 是方程 0 3 x + px + q = 的三个根，求 。 例 19 已知三阶实方阵 3 3 ( ) A = aij 满足 1） aij = Aij ；2） a11 0 ，求 A 。 例 20 设 A，B 均为 n 阶方阵， A = 2, B = −3 ，则 = * −1 2A B 。 题型 7 克莱姆法则和范德蒙行列式德应用 例21 设 a a an , , , 1 2 是数域 P 中互不相同的数， b b bn , , , 1 2 是数域 P 中 任意一组给定的数，证明：存在唯一的数域 P 上的多项式
f(x)=c0x4+…+cn2x+cn使得f(a)=b(i=12…,n)。 l本章小结 本章难点:1、行列式按行(列)展开定理; 2、行列式的计算。 从1978年全国统考以来,行列式的题目主要以填空和选择题为 主, 题量不多,且偏重于计算。在这些考题中不仅有行列式的概念、性质 及 计算,还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值和二次型等知识点,更 常 与矩阵等其他章节联合出题,如:可通过方阵的行列式是否为零判断 阵是否可逆;克莱姆法则的应用;求矩阵的特征值;根据顺序主子式 是 否大于零判断矩阵是否正定;通过分量组成的行列式是否为零来判断 n个n维向量是否线性相关等等都会考查到行列式的计算 第二章矩阵 1重要知识点
2 1 1 0 ( ) − − − = + + n + n n f x c x c x c 使得 f (a ) b (i 1,2, ,n) i = i = 。 III 本章小结 本章难点：1、行列式按行（列）展开定理； 2、行列式的计算。 从 1978 年全国统考以来，行列式的题目主要以填空和选择题为 主， 题量不多，且偏重于计算。在这些考题中不仅有行列式的概念、性质 及 计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值和二次型等知识点，更 常 与矩阵等其他章节联合出题，如：可通过方阵的行列式是否为零判断 方 阵是否可逆；克莱姆法则的应用；求矩阵的特征值；根据顺序主子式 是 否大于零判断矩阵是否正定；通过分量组成的行列式是否为零来判断 n 个 n 维向量是否线性相关等等都会考查到行列式的计算。 第二章 矩 阵 I 重要知识点