求矩阵A的特征值,可以通过计算行列式|E-A|,若λ=20 是A的特征值,则行列式|0EA|=0; 判断二次型xTAx的正定性,可以用顺序主子式全大于零。 凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联 系,代数题的综合性与灵活性就较大,同学们整理时要注重串联、衔 接与转换。 、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了 解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考査考生的抽象思 维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立 的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明 线性代数中常见的证明题型有: 证|A|=0:证向量组al,a2,ot的线性相关性,亦可引伸 为证a1,a2..,t是齐次方程组Ax=0的基础解系;证秩的等式或 不等式;证明矩阵的某种性质,如对称,可逆,正交,正定,可对角
求矩阵 A 的特征值，可以通过计算行列式｜λE-A｜，若 λ＝λ0 是 A 的特征值，则行列式｜λ0E-A｜＝0； 判断二次型 xTAx 的正定性，可以用顺序主子式全大于零。 凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联 系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔 接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了 解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思 维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立 的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。 线性代数中常见的证明题型有： 证｜A｜＝0；证向量组 α1，α2，…αt 的线性相关性，亦可引伸 为证 α1，α2…，αt 是齐次方程组 Ax＝0 的基础解系；证秩的等式或 不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角
化,零矩阵等;证齐次方程组是否有非零解;线性方程组是否有解(亦 即β能否由a1,02.…,∞s线性表出);对给出的两个方程组论证其同 解性或有无公共解;证二次型的正定性,规范形等。 总之,数学题目千变万化,有各种延伸或变式,同学们要在考试 中取得好成绩,一定要认真仔细地复习,华而不实靠押题碰运气是行 不通的,必须要重视三基,多思多议,不断地总结经验与教训,做到 融会贯通。 第一章行列式 1重要知识点 一、排列与逆序 1、n级排列:由n个数1,2,3,…,n组成的一个有序数组 称为一个n级排列或称n元排列,n级排列共有n个。 2、逆序:在一个排列中,如果两个数的前后位置与它们的大小 次序相反,即排在前面的数比后面的数大,就称这两个数构成一个逆 序 个排列中逆序的个数称为此排列的逆序数.用M(i,i, i)表示排列i1i…in的逆序数。排列的逆序数由其中每一个数所引起 的逆序个数相加而得到。 若排列的逆序数是奇数,则称该排列为奇排列;逆序数为偶数
化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦 即 β 能否由 α1，α2…，αs 线性表出)；对给出的两个方程组论证其同 解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等。 总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在考试 中取得好成绩，一定要认真仔细地复习，华而不实靠押题碰运气是行 不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到 融会贯通。 第一章 行 列 式 I 重要知识点 一、排列与逆序 1、 n 级排列：由 n 个数 1，2，3，…，n 组成的一个有序数组 称为一个 n 级排列或称 n 元排列，n 级排列共有 n! 个。 2、逆序：在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的大小 次序相反，即排在前面的数比后面的数大，就称这两个数构成一个逆 序。 一个排列中逆序的个数称为此排列的逆序数．用 N(i1，i2，…， in)表示排列 i1i2…in的逆序数。排列的逆序数由其中每一个数所引起 的逆序个数相加而得到。 若排列的逆序数是奇数，则称该排列为奇排列；逆序数为偶数
则称之为偶排列 对换:把一个排列的某两个数的位置相互调换,其余各数不 动,得到一个新的排列,这种调换称为一次对换 4、有关排列和逆序的几个重要结论 1)对换改变排列的奇偶性 2)在全部的n级排列中,奇排列和偶排列各占一半,各为n!/2 个(n≥2)。 3)任意一个n级排列i1i…i经过若干次对换可变为自然顺序排 列123…n,且所作的对换次数与排列i…i的奇偶性相同 二、n阶行列式 1、定义:D =/2a2 ∑ 这里,∑是对所有n级排列…求和.故行列式等于取自 不同行、不同列的n个元素的乘积a1a2…am,的代数和每一项的正 负号取决于组成该项的n个元素的列标的逆序数(当其行标按自然顺 序排列时).即当方…是偶排列时,取正号,当…是奇排列 时,取负号.由于n级排列共有以!项,所以n阶行列式共有n!项 、几个特殊的行列式 0a2)a 1)上三角形行列式:00a…am=aa243am; 000
则称之为偶排列。 3、对换：把一个排列的某两个数的位置相互调换，其余各数不 动，得到一个新的排列，这种调换称为一次对换。 4、有关排列和逆序的几个重要结论 1）对换改变排列的奇偶性。 2）在全部的 n 级排列中，奇排列和偶排列各占一半，各为 n!/2 个(n≥2)。 3）任意一个 n 级排列 i1i2…in经过若干次对换可变为自然顺序排 列 123…n，且所作的对换次数与排列 i1i2…in的奇偶性相同。 二、n 阶行列式 1、定义： n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = = − n n n j j j j j nj N j j j a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) 这里， n j j j 1 2 是对所有 n 级排列 j1j2…jn求和．故行列式等于取自 不同行、不同列的 n 个元素的乘积 njn a j a j a 1 1 2 2 的代数和．每一项的正 负号取决于组成该项的 n 个元素的列标的逆序数(当其行标按自然顺 序排列时)．即当 j1j2…jn是偶排列时，取正号，当 j1j2…jn是奇排列 时，取负号．由于 n 级排列共有 n!项，所以 n 阶行列式共有 n!项． 2、几个特殊的行列式 1) 上三角形行列式： nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a a 33 3 11 22 33 22 23 2 11 12 13 1 0 0 0 0 0 0 = ；
21a20 2)下三角形行列式a 32a3 a1422a 0 4)设A、B分别是m阶和n阶方阵,则 D =A|·|B| B CB 3、行列式的性质 性质1行列式的行和列互换,其值不变。 即行列式D与它的转置行列式相等,DD。 性质2用一个数k乘以行列式的某一行(列)的各元素,等于 该数乘以此行列式。或者说行列式的某一行(列)的公因子可以提到行 列式的前面 推论若行列式的某行(列)的元素全为零,则该行列式等于零。 性质3如果行列式中某行(列)中各元素均为两项之和,则这 个行列式等于两个行列式的和。即: a22 a22 n+b。a2+h2…an+ba2…ab b n2 性质4交换行列式中任意两行(列)的位置,行列式的正负号
2) 下三角形行列式 nn n n n nn a a a a a a a a a a a a a a 11 22 33 1 2 3 31 32 33 21 22 11 0 0 0 0 0 0 = ； 3) n n n n n n n n n a a a a a a a 1 1 2 1 2 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 0 0 − − = − = ； 4) 设 A、B 分别是 m 阶和 n 阶方阵，则 | | | | 0 0 A B B A D C B A = = ； ( 1) | | | | 0 0 A B B D A B C A mn = = − 。 3、行列式的性质 性质 1 行列式的行和列互换，其值不变。 即行列式 D 与它的转置行列式相等，D=D T。 性质 2 用一个数 k 乘以行列式的某一行(列)的各元素，等于 该数乘以此行列式。或者说行列式的某一行(列)的公因子可以提到行 列式的前面。 推论 若行列式的某行(列)的元素全为零，则该行列式等于零。 性质 3 如果行列式中某行(列)中各元素均为两项之和，则这 个行列式等于两个行列式的和。即： n n nn i i i i i i n n a a a a b a b a b a a a a a a n n 1 2 21 22 2 11 12 1 1 1 2 2 + + + = n n nn i i i n n a a a a a a a a a a a a n 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 + n n nn i i i n n a a a b b b a a a a a a n 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 性质 4 交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式的正负号
改变 推论1如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则行列式 等于零 推论2如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例,则行列 式等于零 性质5把行列式中某一行(列)的各元素同乘以一个数k加到 另一行(列)的对应元素上,行列式的值不变。 4、行列式按某行(列)展开 余子式:n阶行列式中,把元素a所在的第i行第j列的元素划 去后剩下的元素按原来的次序排列而得到的m1阶行列式,称为元素 a的余子式,记为M 代数余子式:A=(-1)“M,称为元素a的代数余子式。 行列式按某一行(列)展开: 行列式等于它的任一行(列)的所有元素分别与它们所对应的代 数余子式的乘积之和。即: D 122 =a1+a2yA21+…+anAn(j=1,2,…n) 行列式的任何一行(列)的各元素与另一行(列)的对应的代数余 子式的乘积之和等于零.即 0(≠ a1kA1+a2k42+…+ ank ant=0(k≠D)
改变。 推论 1 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则行列式 等于零。 推论 2 如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则行列 式等于零。 性质 5 把行列式中某一行(列)的各元素同乘以一个数 k 加到 另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变。 4、行列式按某行(列)展开 余子式：n 阶行列式中，把元素 aij所在的第 i 行第 j 列的元素划 去后剩下的元素按原来的次序排列而得到的 n-1 阶行列式，称为元素 aij的余子式，记为 Mij。 代数余子式：Aij=(-1)i+j Mij，称为元素 aij的代数余子式。 行列式按某一行(列)展开： 行列式等于它的任一行(列)的所有元素分别与它们所对应的代 数余子式的乘积之和。即： D= i i i i in in n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a = + ++ 1 1 2 2 1 2 21 22 2 11 12 1 ( , 1, 2, , ) = a1 j A1 j + a2 j A2 j ++ anj Anj i j = n 行列式的任何一行(列)的各元素与另一行(列)的对应的代数余 子式的乘积之和等于零．即 0 ( ) 1 1 2 2 a A a A a A i j i j + i j ++ in jn = 0 ( ) 1 1 2 2 a A a A a A k l k l + k l ++ nk nl =