武汉科技学院数理系：《线性代数笔记》讲义（方文波）

、矩阵 1、定义由mxn个数an(=12…,m=12…m)排成m行n列的数 表 称为mxn矩阵,简记为A=(an),当m=n时,A也称为n阶方 阵。 2、几类特殊矩阵 (1)单位矩阵:主对角线上都是1,其余全为0的方阵,记为 E。 (2)对角矩阵:除主对角线外其余全为0的方阵.kE叫数量矩 阵 (3)三角矩阵:主对角线上(下)方全为0的方阵称为下(上) 三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵 (4)矩阵的转置:将矩阵A=(an)m的行与列的元素位置交换 而形成的矩阵叫作A的转置,记为A=(an)mn或 (5)对称矩阵与反对称矩阵:设A=(an)灬,若A=A,则称A 为对称矩阵,若A=-A,则称A为反对称矩阵 (6)正交矩阵:设A=(an),若AA=AA=E,则称A正交矩 阵 (⑦)可交换矩阵:设A、B是同阶方阵,且AB=BA

一、矩阵 1、定义 由 mn 个数 ij a (i = 1,2,  ,m; j = 1,2, n) 排成 m 行 n 列的数 表               m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为 mn 矩阵，简记为 A = aij mn ( ) ，当 m = n 时， A 也称为 n 阶方 阵。 2、几类特殊矩阵 （1）单位矩阵：主对角线上都是 1，其余全为 0 的方阵，记为 E 。 （2）对角矩阵：除主对角线外其余全为 0 的方阵.kE 叫数量矩 阵。 （3）三角矩阵：主对角线上（下）方全为 0 的方阵称为下（上） 三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。 （4）矩阵的转置：将矩阵 A = aij mn ( ) 的行与列的元素位置交换 而 形 成 的 矩 阵 叫 作 A 的 转 置 ， 记 为 ji n m T A = a  ( ) 或 A = aji nm ( ) / 。 （5）对称矩阵与反对称矩阵：设 A = aij nn ( ) ，若 A A T = ，则称 A 为对称矩阵，若 A A T = − ，则称 A 为反对称矩阵。 （6）正交矩阵：设 A = aij nn ( ) ，若 A A AA E T T = = ，则称 A 正交矩 阵。 （7）可交换矩阵：设 A、B 是同阶方阵，且 AB = BA

(8)分块矩阵:用水平和竖直虚线将矩阵A中的元素分割成若 干小块,而形成的以这些小块为元素的矩阵。 3、矩阵的运算 (1)矩阵的相等:设A=(an)m,B=()m,若an=b (=12,…,m,j=1,2…,n),则称A与B相等,记为A=B (2)矩阵的和与差:设A=(an)m,B=(b)mn,定义 A±B=(an±b)m(i=12,…,m,j=12,…,m)。 (3)数乘矩阵:设A=(a,)mn,定义kA=(kan)m 矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律: 错误!未找到引用源。交换律A+B=B+A 错误!未找到引用源。结合律(A+B)+C=A+(B+C)。 错误!未找到引用源。分配律k(A4+B)=kA+kB, (k+D)A=kA+lA。 (4)矩阵的乘法:设A=(an)m,B=(bn),定义AxB=(Cn)mn, 其中c=a1b+a2b21+…+anb, 矩阵乘法运算满足下列运算规律: 错误!未找到引用源。结合律(ABC=A(BC)。 错误!未找到引用源。分配律(A+BC=AC+BC, C(A+B)=CA+CB。 错误!未找到引用源。数与乘积的结合律 k(AB)=A(kB)=(kA)B (5)方阵的幂:设A=(an)m,定义A=A.A…4k个A相乘)

（8）分块矩阵：用水平和竖直虚线将矩阵 A 中的元素分割成若 干小块，而形成的以这些小块为元素的矩阵。 3、矩阵的运算 （1）矩阵的相等：设 A = aij mn ( ) ， B = bij mn ( ) ， 若 aij = bij （ i = 1,2,  ,m， j = 1,2,  ,n) ，则称 A 与 B 相等，记为 A = B 。 （2）矩 阵 的 和 与 差 ： 设 A = aij mn ( ) ， B = bij mn ( ) ，定义 A  B = aij  bij mn ( ) （ i = 1,2,  ,m， j = 1,2,  ,n)。 （3）数乘矩阵：设 A = aij mn ( ) ，定义 ij m n kA = ka  ( ) 。 矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律： 错误!未找到引用源。 交换律 A + B = B + A。 错误!未找到引用源。 结合律 (A + B) + C = A + (B + C)。 错误!未找到引用源。 分配律 k(A + B) = kA+ kB ， (k + l)A = kA+ lA。 （4）矩阵的乘法：设 A = aij ms ( ) ，B = bij sn ( ) ，定义 ij m n A B c  =  ( ) ， 其中 ij ai b j ai b j aisbsj c = 1 1 + 2 2 ++ 。 矩阵乘法运算满足下列运算规律： 错误!未找到引用源。 结合律 (AB)C = A(BC)。 错误!未找到引用源。 分配律 (A + B)C = AC + BC ， C(A + B) = CA+ CB。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 数 与 乘 积 的 结 合 律 k(AB) = A(kB) = (kA)B。 （5）方阵的幂：设 A = aij nn ( ) ，定义 A k = A AA(k个A相乘）

方阵的幂满足下列运算规律:A4H=A4,(4)=A4。 (6)分块矩阵的运算:同阶矩阵分块相同才可相加减,在进行 分块矩阵乘法时,应当注意前一个列的分法必须与后一个 行的分法相同。 逆矩阵 、逆矩阵的定义:设A=(an),若存在n阶方阵B,使得 AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,并称B为A的逆矩阵,记 B=A 2、可逆矩阵的性质: (1)若A可逆,则A4唯一。 (2)矩阵A可逆的充要条件是A≠0。 (3)若A可逆,则A,A均可逆,且有(A)=(4),(A-)=A。 (4)若A,B为同阶可逆矩阵,则AB也为可逆矩阵,且有 (AB)-=B-A-1 (5)若A可逆,且k≠0,则f=1,( 3、伴随矩阵 设A=(an)m,A为元素an的代数余子式,定义A=(A)即 A,I A A 2为A的伴随矩 阵 、矩阵的初等变换与初等矩阵

方阵的幂满足下列运算规律： k l k l A A A + = ， k l kl (A ) = A 。 （6）分块矩阵的运算：同阶矩阵分块相同才可相加减，在进行 分块矩阵乘法时，应当注意前一个列的分法必须与后一个 行的分法相同。 二、逆矩阵 1、逆矩阵的定义：设 A = aij nn ( ) ，若存在 n 阶方阵 B ，使得 AB = BA = E ，则称 A 为可逆矩阵，并称 B 为 A 的逆矩阵，记 −1 B = A 。 2、可逆矩阵的性质： （1）若 A 可逆，则 −1 A 唯一。 （2）矩阵 A 可逆的充要条件是 A  0。 （3）若 A 可逆,则 1 , − A A T 均可逆,且有 T T (A ) (A ) −1 −1 = , A = A −1 −1 ( ) 。 （4）若 A， B 为同阶可逆矩阵，则 A B 也为可逆矩阵，且有 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 。 （5）若 A 可逆,且 k  0 ，则 A A 1 1 = − ， 1 1 1 ( ) − − = A k kA 。 3、伴随矩阵 设 A = aij nn ( ) ，Aij 为元素 ij a 的代数余子式，定义 A = Aji nn ( ) * 即：               = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n n nn n n A A A A A A A A A A        1 2 12 22 2 11 21 1 * 为 A 的伴随矩 阵。 4、矩阵的初等变换与初等矩阵

(1)矩阵的初等变换: 错误!未找到引用源。交换矩阵的某两行(列) 错误!未找到引用源。以一个非零的数k乘矩阵的某一行 (列); 错误!未找到引用源。把矩阵的某 列)k倍加到另 一行(列) (2)初等矩阵:对单位矩阵施行一次第(i=1,2,3)种初等变换 后而得到的矩阵叫第;种初等矩阵。初等矩阵为可逆矩阵, 且其逆矩阵仍为初等矩阵。即: P(n,j)-=P(i,j,P(i(c)-1=P(ic-1),P(i,j(k)-=P(,j(-k) (3)初等矩阵与初等变换的关系:对矩阵A左(右)乘第 i(=12,3)种初等矩阵,就相当于对A的行(列)进行了 次同种的初等变换 (4)可逆矩阵与初等矩阵的关系:任何一矩阵A总可以经过 有限次的初等变换化为(EO),这也称为A的等价标准 形 矩阵A可逆→A可以表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。 矩阵的秩及有关矩阵秩的结论 (1)矩阵的秩:矩阵A的非零子式最高阶数叫矩阵A的秩, 记为r(A)。由于初等变换不改变矩阵的秩,故r(A)等于A 的等价标准形(O)中的

（1）矩阵的初等变换： 错误!未找到引用源。交换矩阵的某两行（列）； 错误!未找到引用源。以一个非零的数 k 乘矩阵的某一行 （列）； 错误!未找到引用源。把矩阵的某一行（列） k 倍加到另 一行（列）； （2）初等矩阵：对单位矩阵施行一次第 i(i = 1,2,3) 种初等变换 后而得到的矩阵叫第 i 种初等矩阵。初等矩阵为可逆矩阵， 且其逆矩阵仍为初等矩阵。即： ( , ) ( , ) 1 P i j = P i j − ， ( ( )) ( ( )) −1 −1 P i c = P i c ， ( , ( )) ( , ( )) 1 P i j k = P i j −k − 。 （3）初等矩阵与初等变换的关系：对矩阵 A 左（右）乘第 i(i = 1,2,3) 种初等矩阵，就相当于对 A 的行（列）进行了一 次同种的初等变换。 （4）可逆矩阵与初等矩阵的关系：任何一矩阵 A 总可以经过 有限次的初等变换化为         O O Er O ，这也称为 A 的等价标准 形。 矩阵 A 可逆  A 可以表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。 5、矩阵的秩及有关矩阵秩的结论 （1）矩阵的秩：矩阵 A 的非零子式最高阶数叫矩阵 A 的秩， 记为 r(A) 。由于初等变换不改变矩阵的秩，故 r(A) 等于 A 的等价标准形         O O Er O 中的 r

(2)有关矩阵秩的重要公式与结论 错误!未找到引用源。r(A)=r(4)=r(AA)。 错误!未找到引用源。若A≠O,则r(A)≥1,只有零矩阵 的秩为零 错误!未找到引用源。r(A±B)≤r(4)+r(B)。 错误!未找到引用源。r(AB)≤mn{r(A)r(B) 错误!未找到引用源。若A可逆,则(AB)=r(BA)=r(B)。 错误!未找到引用源。设A=(an)m,B=(b2)m,若 AB=O,则r(A)+r(B)≤n 本章的的重要性质及公式 1、转置矩阵的性质 (A)=A (2)(k=kA (3)(A+B)=A2+B7 (4)(AB)=BA 2、逆矩阵的性质 (2)(a4) A-,A≠0 (3)(A)-1=(A2) (4)(AB)=B 3、伴随矩阵A的性质 (1)(A)'=(A); (2)(A)=(42); (3)M=AA=|4E(最常用);(4)|=4- (5)(A)=4A(n≥3); (6)(AB)=B'。 4、分块矩阵的性质(A,B均为可逆矩阵)

（2）有关矩阵秩的重要公式与结论 错误!未找到引用源。 r(A) r(A ) r(A A) T T = = 。 错误!未找到引用源。 若 A  O ，则 r(A)  1 ，只有零矩阵 的秩为零。 错误!未找到引用源。 r(A  B)  r(A) + r(B)。 错误!未找到引用源。 r(AB)  min{ r(A),r(B)}。 错误!未找到引用源。 若 A 可逆，则 r(AB) = r(BA) = r(B)。 错误!未找到引用源。 设 A = aij mn ( ) ， B = bij ns ( ) ，若 AB = O ，则 r(A) + r(B)  n。 三、本章的的重要性质及公式 1、转置矩阵的性质 （1） A A T T ( ) = ； （2） T T (kA) = kA ； （3） T T T (A+ B) = A + B ； （4） T T T (AB) = B A 。 2、逆矩阵的性质 （1） A = A −1 −1 ( ) ； （2） , 0 1 ( ) 1 1 =  − −   A A ； （3） T T (A ) (A ) −1 −1 = ； （4） 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 。 3、伴随矩阵 * A 的性质 （1） T T (A ) (A ) * * = ； （2） * 1 1 * ( ) ( ) − − A = A ； （3） AA = A A = AE * * （最常用）；（4） 1 * − = n A A ； （5） ( ) ( 3) 2 * * =  − A A A n n ； （6） * * * (AB) = B A 。 4、分块矩阵的性质（ A, B 均为可逆矩阵）