The Application ofproblematic teaching method in linear algebra Fang Wenbo (Wuhan Institute of Science and Technology, Wuhan 430074, China) Abstract: This article is intended as a brief introduction to the problematic teaching method in linear algebra designed by the author The method has the three problems in solving simultaneous linear equations as its clue and draw out all the definitions and theories in the course Key words: problematic teaching methodsimultaneous linear equations 作者信息:方文波,男,38岁,副教授 通信地址:武汉科技学院数理系 邮政编码:430074 电话:027-87495517
The Application of problematic teaching method in linear algebra Fang Wenbo (Wuhan Institute of Science and Technology, Wuhan 430074, China) Abstract: This article is intended as a brief introduction to the problematic teaching method in linear algebra designed by the author. The method has the three problems in solving simultaneous linear equations as its clue and draw out all the definitions and theories in the course. Key words: problematic teaching method simultaneous linear equations 作者信息：方文波，男，38 岁，副教授 通信地址：武汉科技学院数理系 邮政编码：430074 电 话：027-87495517
线性代数的复习方法 考研复习现在已经进入整理冲刺阶段,这段时间大家应把复习过的 知识系统化综合化,注意搞细搞透搞活,也可适当做几套模拟题,这 既可査漏补缺也可兼代积累一点临场经验。本文现针对线性代数课程 的特点,提如下建议供考生参考 注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基 本运算。 线性代数的概念很多,重要的有 代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变 换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组), 线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础 解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对 角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵 往年常有考生没有准确把握住概念的内涵,也没有注意相关概念 之间的区别与联系,导致做题时出现错误
线性代数的复习方法 考研复习现在已经进入整理冲刺阶段，这段时间大家应把复习过的 知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也可适当做几套模拟题，这 既可查漏补缺也可兼代积累一点临场经验。本文现针对线性代数课程 的特点，提如下建议供考生参考。 一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基 本运算。 线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变 换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)， 线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础 解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对 角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念 之间的区别与联系，导致做题时出现错误
例如,矩阵A=(a1,a2,…,am)与B=(β1,β2…,βm)等价, 意味着经过初等变换可由A得到B,要做到这一点,关键是看秩r(A) 与r(B是否相等,而向量组al,a2,αm与β1,β2,…!阝m等价, 说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同的秩,但是向 量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出 向量组等价的信息,因此,由向量组a1,a2,m与β,B2,…m 等价,可知矩阵A=(l,a,…am)与B=(β1,β2,…βBm)等价,但 矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价 又如,实对称矩阵A与B合同,即存在可逆矩阵C使CTAC=B, 要实现这一点,关键是二次型xTAx与ⅹTBx的正、负惯性指数是否 相同,而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立,进而知A 与B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同, 但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵 A~BAB,即相似是合同的充分条件 线性代薮中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本 方法要过关,重要的有: 行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方 阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数
例如，矩阵 A＝(α1，α2，…，αm)与 B＝(β1，β2…，βm)等价， 意味着经过初等变换可由 A 得到 B，要做到这一点，关键是看秩 r(A) 与 r(B)是否相等，而向量组 α1，α2，…αm 与 β1，β2，…βm 等价， 说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向 量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出 向量组等价的信息，因此，由向量组 α1，α2，…αm 与 β1，β2，…βm 等价，可知矩阵 A＝(α1，α2，…αm)与 B＝(β1，β2，…βm)等价，但 矩阵 A 与 B 等价并不能保证这两个向量组等价。 又如，实对称矩阵 A 与 B 合同，即存在可逆矩阵 C 使 CTAC＝B， 要实现这一点，关键是二次型 xTAx 与 xTBx 的正、负惯性指数是否 相同，而 A 与 B 相似是指有可逆矩阵 P 使 P-1AP＝B 成立，进而知 A 与 B 有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同， 但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵 A～B A B，即相似是合同的充分条件。 线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本 方法要过关，重要的有： 行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方 阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数
求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定 义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变 换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形) 、注重知识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析 能力。 线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互 渗透,因此解题方法灵活多变,复习时应当常问自己做得对不对?再 问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知 识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。 例如:设A是mⅫn矩阵,B是nxs矩阵,且AB=0,那么用分 块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解,再根据基础解 系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有 r(B)n-r(A)即r(A)+r(B≤n 进而可求矩阵A或B中的一些参数 再如,若A是n阶矩阵可以相似对角化,那么,用分块矩阵处 理P1AP=∧可知A有n个线性无关的特征向量,P就是由A的线
求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定 义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变 换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析 能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互 渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再 问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知 识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 例如：设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，且 AB＝0，那么用分 块矩阵可知 B 的列向量都是齐次方程组 Ax＝0 的解，再根据基础解 系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有 r(B)≤n-r(A)即 r(A)＋r(B)≤n 进而可求矩阵 A 或 B 中的一些参数 再如，若 A 是 n 阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处 理 P-1AP＝∧可知 A 有 n 个线性无关的特征向量，P 就是由 A 的线
性无关的特征向量所构成,再由特征向量与基础解系间的联系可知此 时若λ是ni重特征值,则齐次方程组OE-Ax=0的基础解系由ni 个解向量组成,进而可知秩r(λE-A)=nni,那么,如果A不能相似 对角化,则A的特征值必有重根且有特征值x使秩r(iE-A)<nni 若A是实对称矩阵,则因A必能相似对角化而知对每个特征值i必 有r(E-A)=nni,此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似 对角化。 又比如,对于n阶行列式我们知道: 若|A|=0,则Ax=0必有非零解,而Ax=b没有惟一解(可能 有无穷多解,也可能无解),而当|A时,可用克莱姆法则求Ax b的惟一解; 可用|A|证明矩阵A是否可逆,并在可逆时通过伴随矩阵来求 A-1 对于n个n维向量al,a2,n可以利用行列式|A|= a1a2.n|是否为零来判断向量组的线性相关性; 矩阵A的秩r(A是用A中非零子式的最高阶数来定义的,若r(A) r,则A中r阶子式全为0;
性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此 时若 λi 是 ni 重特征值，则齐次方程组(λiE-A)x＝0 的基础解系由 ni 个解向量组成，进而可知秩 r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果 A 不能相似 对角化，则 A 的特征值必有重根且有特征值 λi 使秩 r(λiE-A)＜n-ni， 若 A 是实对称矩阵，则因 A 必能相似对角化而知对每个特征值 λi 必 有 r(λiE-A)＝n-ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似 对角化。 又比如，对于 n 阶行列式我们知道： 若｜A｜＝0，则 Ax＝0 必有非零解，而 Ax＝b 没有惟一解(可能 有无穷多解，也可能无解)，而当｜A｜≠0 时，可用克莱姆法则求 Ax ＝b 的惟一解； 可用｜A｜证明矩阵 A 是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求 A-1； 对于 n 个 n 维向量 α1，α2，…αn 可以利用行列式｜A｜＝｜ α1α2…αn｜是否为零来判断向量组的线性相关性； 矩阵A 的秩 r(A)是用A 中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A) ＜r，则 A 中 r 阶子式全为 0；