称之为二阶行列式,则上述求解公式可写成: D 其中D为系数行列式,D为D中的第j列换成常数项。 类似地三元线性方程组 2x1+a2x2+a23x3=b2 a3 x, +a%2X2+a33x,=b 的求解公式可写成 1,2,3) 其中D=a2a2a2,称之为三阶行列式,D为D中的第j列换成 常数列。 元、三元线性方程组的求解公式很有规律,那么n元线性方程 组是否也有类似的求解公式呢?为了解决这一问题,我们需要定义n 阶行列式。接着分析二阶、三阶行列式定义的共同特点,引出n阶行 列式的定义,然后研究它的性质、计算方法,最后由克莱姆法则解决 这类方程组的求解问题 33矩阵概念的引出 线性方程由未知变量的系数和常数项唯一确定,而与未知变量的 记号无关。因此,研究方程组的求解问题,只需研究由方程组中的每 个方程的未知变量的系数和常数项构成的数表即可,称这样的数表为 矩阵。例如引例1中的方程组对应于矩阵
称之为二阶行列式，则上述求解公式可写成： = = D D x D D x 2 2 1 1 其中Ｄ为系数行列式，Dj为 D 中的第 j 列换成常数项。 类似地三元线性方程组 + + = + + = + + = 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的求解公式可写成： D D x j j = ， （j=1,2,3） 其中 D＝ 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ，称之为三阶行列式，Dj为 D 中的第 j 列换成 常数列。 二元、三元线性方程组的求解公式很有规律，那么ｎ元线性方程 组是否也有类似的求解公式呢？为了解决这一问题，我们需要定义ｎ 阶行列式。接着分析二阶、三阶行列式定义的共同特点，引出ｎ阶行 列式的定义，然后研究它的性质、计算方法，最后由克莱姆法则解决 了这类方程组的求解问题。 3.3矩阵概念的引出 线性方程由未知变量的系数和常数项唯一确定，而与未知变量的 记号无关。因此，研究方程组的求解问题，只需研究由方程组中的每 个方程的未知变量的系数和常数项构成的数表即可，称这样的数表为 矩阵。 例如引例 1 中的方程组对应于矩阵
B 2-131 反之,给定矩阵B,可唯一地得到引例1中的方程组,即方程组与矩 阵一一对应。这样研究方程组的求解问题就转化为研究矩阵的某些问 题。如判断引例1中的方程组中是否有多余的方程的过程①×(-1)+ ②等价于矩阵B作如下等价变换 12-1 12-1 B=31222+(-1)2-131|=B 2-13 从矩阵B1中很容易看出原方程中有一个多余的方程,因为B1中有两 行完全相同。 矩阵的概念虽然引出了,但到底如何利用矩阵来研究线性方程 组,这又是我们要解决的问题,为此要对矩阵进行研究。这样自然而 然地引导带着强烈求知欲望的学生参与到矩阵理论的学习中去,而且 他们是带着问题去学习,这样一方面可以变以前是教师向他们灌知识 到现在他们主动学知识,达到提高学习效率的目地;另一方面,带着 问题去学习的学习过程,其实是在学习前人如何创造性地解决问题的 过程,从而可提高他们解决问题的能力 24向量概念的引进 行列式和矩阵都没能很好地解决解方程组的三个问题,为了解决 这三个问题,必须再引进新的概念并建立更严谨的理论体系,那么, 还可以用什么工具来研究方程组呢?这时自然会想到几何中的向量, 因为向量是一个有序数组,而线性方程中的未知变量的系数及常数项
− − = 2 1 3 1 3 1 2 2 1 2 1 1 B ， 反之，给定矩阵Ｂ，可唯一地得到引例 1 中的方程组，即方程组与矩 阵一一对应。这样研究方程组的求解问题就转化为研究矩阵的某些问 题。如判断引例 1 中的方程组中是否有多余的方程的过程①×(-1)+ ②等价于矩阵Ｂ作如下等价变换： Ｂ＝ 2 1 B1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 2 1 1 r ( 1)r 2 1 3 1 3 1 2 2 1 2 1 1 = − − − + − − − 从矩阵 B1中很容易看出原方程中有一个多余的方程，因为 B1中有两 行完全相同。 矩阵的概念虽然引出了，但到底如何利用矩阵来研究线性方程 组，这又是我们要解决的问题，为此要对矩阵进行研究。这样自然而 然地引导带着强烈求知欲望的学生参与到矩阵理论的学习中去，而且 他们是带着问题去学习，这样一方面可以变以前是教师向他们灌知识 到现在他们主动学知识，达到提高学习效率的目地；另一方面，带着 问题去学习的学习过程，其实是在学习前人如何创造性地解决问题的 过程，从而可提高他们解决问题的能力。 2.4 向量概念的引进 行列式和矩阵都没能很好地解决解方程组的三个问题，为了解决 这三个问题，必须再引进新的概念并建立更严谨的理论体系，那么， 还可以用什么工具来研究方程组呢？这时自然会想到几何中的向量， 因为向量是一个有序数组，而线性方程中的未知变量的系数及常数项
按某种规律也可看成是一个有序数组。如方程x+2y-z=1对应于向量 a1=(12,-1,1),引例1中的方程组对应于向量组a=(1,2.-11),a 2=(3,12),α=(2,-1,3,1)。这样研究方程组的求解问题可转化为研究 它所对应的向量组的性质。这样又自然地把学生引导到向量理论的学 习上来 在定义了向量组的线性相关性以后,问题1)得到了解决:方程组 中有多余方程的充要条件是它所对应的向量组线性相关。但这一问题 只是从理论上得到解决,因为向量组的线性相关性的判别目前只能用 定义,而由定义判别向量组的线性相关性又必须解方程组,形成了一 个环,因此必须解决向量组的线性相关性的判别问题。于是新的问题 又出现了,这一新问题由向量组的线性相关性的四个判别定理来解 决。这样很抽象的四个定理,在同学们翘首以待的过程中,被一一地 引出了。讲完这四个定理后,我又提出这样一个问题:这四个定理只 是从理论上解决了向量组的线性相关性的判别问题,若用它们来判别 某些具体的向量组的线性相关性,有时很困难,甚至不可能。但在这 四个定理的指导下,我们可以找到判别向量组的线性相关性的有效方 法,在介绍这一方法之前,我们必须学习向量组的秩及其有关理论。 那么我们的有效方法究竟是怎样的呢?咱们以后再说 有了上次课的伏笔,本节课再重复一下上次提出的问题,进一步 激发同学们的学习兴趣,然后再讲解向量组的秩和极大无关组的概 念,以及本节的一个重要定理和它的四个推论。本节的内容讲完后, 再回到解方程组的三个问题上来。解方程组的第二个问题在本节得到
按某种规律也可看成是一个有序数组。如方程 x+2y-z=1 对应于向量 α1=(1,2,-1,1),引例 1 中的方程组对应于向量组α1=(1,2,-1,1),α 2=(3,1,2,2),α3=(2,-1,3,1)。这样研究方程组的求解问题可转化为研究 它所对应的向量组的性质。这样又自然地把学生引导到向量理论的学 习上来。 在定义了向量组的线性相关性以后，问题 1)得到了解决：方程组 中有多余方程的充要条件是它所对应的向量组线性相关。但这一问题 只是从理论上得到解决，因为向量组的线性相关性的判别目前只能用 定义，而由定义判别向量组的线性相关性又必须解方程组，形成了一 个环，因此必须解决向量组的线性相关性的判别问题。于是新的问题 又出现了，这一新问题由向量组的线性相关性的四个判别定理来解 决。这样很抽象的四个定理，在同学们翘首以待的过程中，被一一地 引出了。讲完这四个定理后，我又提出这样一个问题：这四个定理只 是从理论上解决了向量组的线性相关性的判别问题，若用它们来判别 某些具体的向量组的线性相关性，有时很困难，甚至不可能。但在这 四个定理的指导下，我们可以找到判别向量组的线性相关性的有效方 法，在介绍这一方法之前，我们必须学习向量组的秩及其有关理论。 那么我们的有效方法究竟是怎样的呢？咱们以后再说。 有了上次课的伏笔，本节课再重复一下上次提出的问题，进一步 激发同学们的学习兴趣，然后再讲解向量组的秩和极大无关组的概 念，以及本节的一个重要定理和它的四个推论。本节的内容讲完后， 再回到解方程组的三个问题上来。解方程组的第二个问题在本节得到
解决,即方程组的保留方程组即为它所对应的向量组的一个极大无关 组所对应的方程组。学完本节后,上一节提出的方法问题也得到了解 决:若向量组的秩小于向量组中的向量个数,则该向量组线性相关。 但现在需解决的问题是如何有效地求向量组的秩和极大无关组。为了 解决这一问题,需要进一步研究矩阵以及矩阵和向量组的关系 利用方程组作为桥梁,把矩阵和向量组形成一一对应。定义了矩 阵的秩后,求向量组的秩即为求矩阵的秩。接着介绍求矩阵秩的方法。 在讲解这一方法时,必须讲清楚向量组的线性相关性的判别定理在其 中所起的重要作用,使同学们深刻地体会前人如何用理论来巧妙地解 决问题,从而达到提高能力的目的。在这里,问题3)也得到了解决: 若方程组I的保留方程组中含有r个方程,则该方程组中有n个变 量可自由变化,且其余r个变量可由这nr个变量唯一表示。 25解方程组的有效方法 通过前面的学习,虽然我们已经解决了求解方程组的三个问题, 但并没有找到解方程组的有效方法。为了找到行之有效的方法,我们 需继续学习矩阵的初等变换、向量空间、方程组解的结构等概念和理 论。最后我们找到的解方程组的有效方法是:利用矩阵的初等行变换 来求解方程组。至此方程组的求解问题得到了圆满解决,<<线性代 数>>这门课的前四章内容也就讲完了。 4.结束语 作者认为问题式教学法的精髓在于,教师通过不断地提出问题、 分析问题、解决问题,激发同学们的学习兴趣,使他们带着问题去学
解决，即方程组的保留方程组即为它所对应的向量组的一个极大无关 组所对应的方程组。学完本节后，上一节提出的方法问题也得到了解 决：若向量组的秩小于向量组中的向量个数，则该向量组线性相关。 但现在需解决的问题是如何有效地求向量组的秩和极大无关组。为了 解决这一问题，需要进一步研究矩阵以及矩阵和向量组的关系。 利用方程组作为桥梁，把矩阵和向量组形成一一对应。定义了矩 阵的秩后，求向量组的秩即为求矩阵的秩。接着介绍求矩阵秩的方法。 在讲解这一方法时，必须讲清楚向量组的线性相关性的判别定理在其 中所起的重要作用，使同学们深刻地体会前人如何用理论来巧妙地解 决问题，从而达到提高能力的目的。在这里，问题 3)也得到了解决： 若方程组Ⅰ的保留方程组中含有 r 个方程，则该方程组中有 n-r 个变 量可自由变化，且其余 r 个变量可由这 n-r 个变量唯一表示。 2.5解方程组的有效方法 通过前面的学习，虽然我们已经解决了求解方程组的三个问题， 但并没有找到解方程组的有效方法。为了找到行之有效的方法，我们 需继续学习矩阵的初等变换、向量空间、方程组解的结构等概念和理 论。最后我们找到的解方程组的有效方法是：利用矩阵的初等行变换 来求解方程组。至此方程组的求解问题得到了圆满解决，<<线性代 数>>这门课的前四章内容也就讲完了。 4. 结束语 作者认为问题式教学法的精髓在于，教师通过不断地提出问题、 分析问题、解决问题，激发同学们的学习兴趣，使他们带着问题去学
习,在分析、解决问题的过程中学习新知识;同时,这种教学法也能 提高同学们发现、分析、解决问题的能力。作者在讲授线性代数这门 课时,以线性方程组为主线,把行列式、矩阵、向量组的线性相关性 这三个知识点有机地串在一起;把解决解方程组的三个问题贯彻在整 个讲授过程中,在讲解不同的章节时又分别提出相关的问题。这种教 学法比传统的照本宣科、灌输式教学法所取得的教学效果要好得多, 本人多年的教学实践证明了这一点 在这里需要说明的是,第一,作者把行列式、矩阵、向量组的线 性相关性等概念及相关理论的产生,都说成是为解线性方程组而产生 的,这可能与它们产生的实际背景不相同,但这只是作者讲课时的一 种处理方法,是否恰当有待商讨;第二,作者把行列式、矩阵、向量 组的线性相关性等理论的作用局限于解方程组,而事实上,这些理论 的应用范围非常广,这也是作者的一种处理方法。这种处理方法符合 学科发展的一般规律,即某一理论发展的初期可能是为了解决某一问 题,但当这一理论相当成熟以后,又可用来解决很多其它领域的问题, 因此,应向学生反复强调这一点。 参考文献: []同济大学数学教研线性代数,北京:高等教育出版社,1999 年3月第3版 [2]李世栋等线性代数,北京:科学出版社,2000年1月第1版
习，在分析、解决问题的过程中学习新知识；同时，这种教学法也能 提高同学们发现、分析、解决问题的能力。作者在讲授线性代数这门 课时，以线性方程组为主线，把行列式、矩阵、向量组的线性相关性 这三个知识点有机地串在一起；把解决解方程组的三个问题贯彻在整 个讲授过程中，在讲解不同的章节时又分别提出相关的问题。这种教 学法比传统的照本宣科、灌输式教学法所取得的教学效果要好得多， 本人多年的教学实践证明了这一点。 在这里需要说明的是，第一，作者把行列式、矩阵、向量组的线 性相关性等概念及相关理论的产生，都说成是为解线性方程组而产生 的，这可能与它们产生的实际背景不相同，但这只是作者讲课时的一 种处理方法，是否恰当有待商讨；第二，作者把行列式、矩阵、向量 组的线性相关性等理论的作用局限于解方程组，而事实上，这些理论 的应用范围非常广，这也是作者的一种处理方法。这种处理方法符合 学科发展的一般规律，即某一理论发展的初期可能是为了解决某一问 题，但当这一理论相当成熟以后，又可用来解决很多其它领域的问题， 因此，应向学生反复强调这一点。 参考文献： [1]同济大学数学教研. 线性代数, 北京: 高等教育出版社, 1999 年 3 月第 3 版. [2]李世栋等. 线性代数, 北京: 科学出版社, 2000 年 1 月第 1 版