赋范线性空间与Banach空间 定义 设p:X→R是线性空间X上的半范数，如果p(a)=0当且仅当 x=0,则称p为X上的范数， 注 任给线性空间总可以赋予范数使之称为赋范线性空间， 定义 称赋有范数‖·‖的线性空间X为赋范线性空间， 一般记赋范线性空间为(X,川·).有时候为了方便起见，直接把 (X,川)简记为X.如果(X,‖·)是赋范线性空间，x∈X,则称川为 x的范数 泛函分析 October 11,2021 11/53
赋范线性空间与 Banach 空间 定义 设 p : X → R 是线性空间 X 上的半范数, 如果 p(x) = 0 当且仅当 x = 0, 则称 p 为 X 上的范数. 注 任给线性空间总可以赋予范数使之称为赋范线性空间. 定义 称赋有范数 || · || 的线性空间 X 为赋范线性空间. 一般记赋范线性空间为 (X, || · ||). 有时候为了方便起见, 直接把 (X, || · ||) 简记为 X. 如果 (X, || · ||) 是赋范线性空间, x ∈ X, 则称 ||x|| 为 x 的范数. 泛函分析 October 11, 2021 11 / 53
设(X,‖·)是赋范线性空间，对任何x,y∈X,令 d(x)=x-, 则有 ()d(x,)≥0，并且d(x,)=0台x=5 ()d(x,)=lx-=(-1)(y-x训=川y-=d(,: (ii)d(x,)=lx-z+z-≤x-+川z-=d(x,+d(x,) 因此，d是X上的度量，称它为由范数诱导出的度量 我们在上一章中对度量空间定义的概念和证明的结论对赋范线性空 间都成立.特别的，此度量还满足如下性质： ()d(x+之，y+z=d(x,),x,,z∈X (ii)d(ax,a)=lad(,x),x,y∈X,a∈C. 泛函分析 0 ctober11,202112/53
设 (X, || · ||) 是赋范线性空间, 对任何 x, y ∈ X, 令 d(x, y) = ||x − y||, 则有 (i) d(x, y) ⩾ 0, 并且 d(x, y) = 0 ⇔ x = y; (ii) d(x, y) = ||x − y|| = ||(−1)(y − x)|| = ||y − x|| = d(y, x); (iii) d(x, y) = ||x − z + z − y|| ⩽ ||x − z|| + ||z − y|| = d(x, z) + d(x, y). 因此, d 是 X 上的度量, 称它为由范数诱导出的度量. 我们在上一章中对度量空间定义的概念和证明的结论对赋范线性空 间都成立. 特别的, 此度量还满足如下性质: (i) d(x + z, y + z) = d(x, y), ∀x, y, z ∈ X; (ii) d(αx, αy) = |α|d(y, x), ∀x, y ∈ X, α ∈ C. 泛函分析 October 11, 2021 12 / 53
任何赋范线性空间一定是度量空间，但反之不对.如在R上定义度 量d为 d(红，= 1x- 21+|z- Vx,y∈R. 容易验证，(R,d)不是赋范线性空间. 定义 设X是赋范线性空间，{}。1CX,如果存在x∈X使得 lim ln -=0, 则称{zn}。1依范数收敛于x,记为lim an=x,或n→x 泛函分析 0 ctober11,202113/53
任何赋范线性空间一定是度量空间, 但反之不对. 如在 R 上定义度 量 d 为 d(x, y) = 1 2 |x − y| 1 + |x − y| , ∀x, y ∈ R. 容易验证, (R, d) 不是赋范线性空间. 定义 设 X 是赋范线性空间, {xn}∞ n=1 ⊂ X, 如果存在 x ∈ X 使得 limn→∞ ||xn − x|| = 0, 则称 {xn}∞ n=1 依范数收敛于 x, 记为 limn→∞ xn = x, 或 xn → x. 泛函分析 October 11, 2021 13 / 53
定理 线性空间X上的范数诱导出的度量与X的线性结构相容，即： 当an→a,Bn→Bn→工， n→y时，有 anxn+Bnyn→ax+By, 其中an,a,Bn,B是实数或复数，xn,x,ym,y∈X. 推论 设M是线性空间X中的平衡，吸收的凸子集，并且满足对任何 x∈X\{0},都有a>0使得a-1xtM,则由M诱导出的Minkowski 泛函是X上的范数 泛函分析 0 ctober11,202114/53
定理 线性空间 X 上的范数诱导出的度量与 X 的线性结构相容, 即: 当 αn → α, βn → β, xn → x, yn → y 时, 有 αnxn + βnyn → αx + βy, 其中 αn, α, βn, β 是实数或复数, xn, x, yn, y ∈ X. 推论 设 M 是线性空间 X 中的平衡, 吸收的凸子集, 并且满足对任何 x ∈ X \ {0}, 都有 α > 0 使得 α −1 x ∈/ M, 则由 M 诱导出的 Minkowski 泛函是 X 上的范数. 泛函分析 October 11, 2021 14 / 53
注 由任何度量空间都可以完备化可知任何赋范线性空间都可以（唯一的） 完备化为一个Banach空间. 对于任何5g∈LP(a,)(1≤p<o∞)以及任何常数a,定义其上加 法和数乘为 (f+g)(x)=fx)+g(x): (af(z)=afr), 则LP(a,b)是线性空间.我们在IP(a,b)中引入范数如下： 对任何f∈LP(a,b),令 M=(aa) (2) LP(a,b)是赋范线性空间 泛函分析 0 ctober11,202115/53
注 由任何度量空间都可以完备化可知任何赋范线性空间都可以 (唯一的) 完备化为一个 Banach 空间. 对于任何 f, g ∈ L p (a, b) (1 ≤ p < ∞) 以及任何常数 α, 定义其上加 法和数乘为 (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x), 则 L p (a, b) 是线性空间. 我们在 L p (a, b) 中引入范数如下: 对任何 f ∈ L p (a, b), 令 ||f|| = Z b a |f(x)| p dx1/p . (2) L p (a, b) 是赋范线性空间. 泛函分析 October 11, 2021 15 / 53