例 设Ma,是区间[a,上的实（或复）有界变差函数的全体.依照通常的 线性运算，它是一个线性空间.定义Ⅵa,上范数如下： llfl lf(a)1+v(f), j∈Ma,b, (3) 其中()为f的全变差.容易验证上面确实定义了一个范数，Ma,)]按 该范数是赋范线性空间.令 oa,={f∈Ma,,f在(a,b)中每点右连续且fa)=0}. (4) 它是Ⅵa,的线性子空间.在Vo[a,上，范数等于全变差( 泛函份析 0 ctober11,202116/53
例 设 V[a, b] 是区间 [a, b] 上的实 (或复) 有界变差函数的全体. 依照通常的 线性运算, 它是一个线性空间. 定义 V[a, b] 上范数如下: ||f|| = |f(a)| + V b a (f), ∀f ∈ V[a, b], (3) 其中 Vb a (f) 为 f 的全变差. 容易验证上面确实定义了一个范数, V[a, b] 按 该范数是赋范线性空间. 令 V0[a, b] = {f ∈ V[a, b]|, f 在(a, b) 中每点右连续且f(a) = 0}. (4) 它是 V[a, b] 的线性子空间. 在 V0[a, b] 上, 范数 ||f|| 等于全变差 Vb a (f). 泛函分析 October 11, 2021 16 / 53
例 设Cm(2)(m∈N)是Rn中有界区域2上具有直到m阶连续偏导数的 函数u(,·,xm),并满足 lm=∑ sup DPu(x)<oo (5) N(p)<m E 的全体构成的集合，其中x=(,,n,p=(p1,,Pn N(p)=+…+pm,DPu= 那么C"(2)是线性空间，并 且‖llm是Cm(2)上范数，在此范数下Cm()是-个Banach空间 设m∈N,0<a<1,Cm+a()为C"(2)中m阶偏导数在2上满足条 件：存在常数K,使得当P,Q∈2时 DPu(P)-DPu(Q)川≤P-Qa,N(p)=m. (6) 上午全体函数u构成的集合.它按通常的线性运算成为线性空间.我们 用H,m[u表示条件(6)中常数K的最小值.在Cm+a(2)上定义范数 如下： llullm+a=llullm+Ha,m[ul, (7) 则Cm+a(2)是一个Banach空间. 泛函分析 October 11,2021 17/53
例 设 C m(Ω)(m ∈ N) 是 R n 中有界区域 Ω 上具有直到 m 阶连续偏导数的 函数 u(x1, · · · , xn), 并满足 ||u||m = X N(p)≤m sup x∈Ω |D p u(x)| < ∞ (5) 的全体构成的集合, 其中 x = (x1, · · · , xn), p = (p1, · · · , pn), N(p) = p1 + · · · + pn, Dpu = ∂ N(p)u ∂x p1 1 ···∂x pn n . 那么 C m(Ω) 是线性空间, 并 且 ||u||m 是 C m(Ω) 上范数, 在此范数下 C m(Ω) 是一个 Banach 空间. 设 m ∈ N, 0 < α < 1, C m+α(Ω) 为 C m(Ω) 中 m 阶偏导数在 Ω 上满足条 件: 存在常数 K, 使得当 P, Q ∈ Ω 时 |D p u(P) − D p u(Q)| ⩽ K|P − Q| α , N(p) = m. (6) 上午全体函数 u 构成的集合. 它按通常的线性运算成为线性空间. 我们 用 Hα,m[u] 表示条件 (6) 中常数 K 的最小值. 在 C m+α(Ω) 上定义范数 如下: ||u||m+α = ||u||m + Hα,m[u], (7) 则 C m+α(Ω) 是一个 Banach 空间. 泛函分析 October 11, 2021 17 / 53
有限维赋范线性空间与Riesz引理 定理 设X是n维赋范线性空间，{e1,2,…,en}是X的一组基，则一定存 在正常数C,C2使得当x= ∑eeX时有 G(∑P)s≤(∑P) 定义 线性空间X上的两个范数川1，川·2称为等价的，如果存在正常数 C,C2,使得对任何x∈X,有 Gz≤川2≤C2l. 泛函份析 0 ctober11,202118/53
有限维赋范线性空间与 Riesz 引理 定理 设 X 是 n 维赋范线性空间, {e1, e2, · · · , en} 是 X 的一组基, 则一定存 在正常数 C1, C2 使得当 x = Xn i=1 xiei ∈ X 时有 C1 Xn i=1 |xi | 2 1/2 ⩽ ||x|| ⩽ C2 Xn i=1 |xi | 2 1/2 . 定义 线性空间 X 上的两个范数 || · ||1, || · ||2 称为等价的, 如果存在正常数 C1, C2, 使得对任何 x ∈ X, 有 C1||x||1 ⩽ ||x||2 ⩽ C2||x||1. 泛函分析 October 11, 2021 18 / 53