定义 线性空间X的有限子集S称为X的基，如果S是线性无关的，而且S 长成的线性流形就是整个X. 在线性代数中我们已经知道，线性空间X是n维的，当且仅当X 有一个由n个元素组成的基.n维线性空间的每个基都含有n个元素. 有限维空间X的任意一个线性流形M也是有限维的，而且 dimM≤dimX. 定义 设X是线性空间.给定X的两个线性流形M,N,我们用M+N表示所 有形如m+n,m∈M,n∈N之元素的集合，称为M与N的和.如果还 有MnN={O,即M与N有唯一公共元0，则以M⊕N代替M+N, 称为M与N的直接和. 如果X=M⊕N,则称M与N是代数互补的线性流形，N是M在 X中的一个代数补 泛函分析 October 11,2021 6/53
定义 线性空间 X 的有限子集 S 称为 X 的基，如果 S 是线性无关的，而且 S 长成的线性流形就是整个 X. 在线性代数中我们已经知道，线性空间 X 是 n 维的，当且仅当 X 有一个由 n 个元素组成的基. n 维线性空间的每个基都含有 n 个元素. 有限维空间 X 的任意一个线性流形 M 也是有限维的，而且 dimM ⩽ dimX. 定义 设 X 是线性空间. 给定 X 的两个线性流形 M, N，我们用 M + N 表示所 有形如 m + n, m ∈ M, n ∈ N 之元素的集合，称为 M 与 N 的和. 如果还 有 M ∩ N = {0}，即 M 与 N 有唯一公共元 0，则以 M ⊕ N 代替 M + N， 称为 M 与 N 的直接和. 如果 X = M ⊕ N, 则称 M 与 N 是代数互补的线性流形, N 是 M 在 X 中的一个代数补. 泛函分析 October 11, 2021 6 / 53
定理 设M,N是线性空间X的线性流形，则X=M⊕N当且仅当对每个 x∈X有唯一表达式 x=m+n,m∈M,n∈N. (1) 定理 如果X=M⊕N,则 dimX=dim M+dim N. 泛函分析 October11,20217/53
定理 设 M, N 是线性空间 X 的线性流形，则 X = M ⊕ N 当且仅当对每个 x ∈ X 有唯一表达式 x = m + n, m ∈ M, n ∈ N. (1) 定理 如果 X = M ⊕ N，则 dim X = dim M + dim N. 泛函分析 October 11, 2021 7 / 53
半范数与范数 定义 设X是线性空间，若函数p:X→R满足： ()(次可加性)(x+)≤p()+p(),x,y∈X (ii)p(az)=lalp(r), 则称其为X上的半范数， 命题 设p:X→R是线性空间X上的半范数.则 ()p(0)=0,p(≥0，Hx∈X ()lp()-p(≤p(x-),H,y∈X. 泛函分析 October11,20218/53
半范数与范数 定义 设 X 是线性空间, 若函数 p : X → R 满足: (i) (次可加性) p(x + y) ⩽ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X; (ii) p(αx) = |α|p(x), 则称其为 X 上的半范数. 命题 设 p : X → R 是线性空间 X 上的半范数. 则 (i) p(0) = 0, p(x) ⩾ 0, ∀ x ∈ X; (ii) |p(x) − p(y)| ⩽ p(x − y), ∀ x, y ∈ X. 泛函分析 October 11, 2021 8 / 53
定义 设M为X中凸子集.若x∈M,a≤1时，有ax∈M,则称M是平衡 的；若对任何x∈X,存在ex>0,使得当a≤ez时，有ax∈M,则 称M是吸收的 定理 设p()是线性空间X上的半范数，C是正常数.则集合 Mc={x∈Xp()≤C 具有如下性质： (①0∈Mc: (i)Mc是X中的凸子集，即当x,y∈Mc,0≤a≤1时，有 ax+(1-a)y∈Mc (ii)Mc是平衡的； (v)Mc是吸收的； (v)p(z)=inffac a >0,aE Mc}. 泛函分析 October11,20219/53
定义 设 M 为 X 中凸子集. 若 x ∈ M, |α| ≤ 1 时, 有 αx ∈ M, 则称 M 是平衡 的; 若对任何 x ∈ X, 存在 εx > 0, 使得当 |α| ⩽ εx 时, 有 αx ∈ M, 则 称 M 是吸收的. 定理 设 p(x) 是线性空间 X 上的半范数, C 是正常数. 则集合 MC = {x ∈ X| p(x) ⩽ C} 具有如下性质: (i) 0 ∈ MC; (ii) MC 是 X 中的凸子集, 即当 x, y ∈ MC, 0 ≤ α ≤ 1 时, 有 αx + (1 − α)y ∈ MC; (iii) MC 是平衡的; (iv) MC 是吸收的; (v) p(x) = inf{αC| α > 0, α−1 x ∈ MC}. 泛函分析 October 11, 2021 9 / 53
定理1.11告诉我们从一个半范数出发可定义出一族吸收的平衡的 凸集.下面我们来考虑反面情况. 定义 设M是线性空间X中的平衡且吸收的凸子集，定义由M诱导出的 Minkowski泛函映射pM:X→O,+oo)如下 pM(r)=inffal a 0,aE M. Minkowski泛函是研究凸集的有效且重要工具 定理 设M是线性空间X中的吸收的平衡的凸子集，则由M诱导出的 Minkowski泛函pM()是X上的半范数. 泛函分析 0 ctober11,202110/53
定理 1.11 告诉我们从一个半范数出发可定义出一族吸收的平衡的 凸集. 下面我们来考虑反面情况. 定义 设 M 是线性空间 X 中的平衡且吸收的凸子集, 定义由 M 诱导出的 Minkowski 泛函映射 pM : X → [0, +∞) 如下: pM(x) = inf{α| α > 0, α−1 x ∈ M}. Minkowski 泛函是研究凸集的有效且重要工具. 定理 设 M 是线性空间 X 中的吸收的平衡的凸子集, 则由 M 诱导出的 Minkowski 泛函 pM(·) 是 X 上的半范数. 泛函分析 October 11, 2021 10 / 53