2军备竞赛 目的·描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 , 解释(预测)双方军备竞赛的结局 假设1)由于相互不信任,一方军备越大,另 方军备增加越快; 2)由于经济实力限制,一方军备越大,对 自己军备增长的制约越大; 3)由于相互敌视或领土争端,每一方都存 在增加军备的潜力。 进一步 假设1)2)的作用为线性;3)的作用为常数
2 军备竞赛 目的 • 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 • 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快； 假设 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力。 进一步 假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数
建模x(0-甲方军备数量,J()~乙方军备数量 x()=-+ky+g y(t)=lx-By+h a月~本方经济实力的制约; k,L~对方军备数量的刺激; g,h~本方军备竞赛的潜力。 军备竞赛的结局口t→时的x(0,y(0 微分方程的平衡点及其稳定性
建模 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量 x (t) = −αx + ky + g y (t) = lx − βy + h α, β ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 军备竞赛的结局 t → ∞时的x(t)，y(t) 微分方程的平衡点及其稳定性
线性常系数()=ax+by 的平衡点及其稳定性Y 微分方程组j(t)=cx+小y ax+by= 衡点Px0)=(0,0)~代数方程 00 的根 cx+ 若从P某邻域的任一初值出发,都有limx()=x, t→)∞ imy()=y,称P是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵=/b 特征方程det4-A)=0 C 12+n2+ q =0 特征根 p=-(a+d) 12=(-p+Vp2-4)/2 q=det A
线性常系数 微分方程组 y t cx dy x t ax by = + = + ( ) ( ) 的平衡点及其稳定性 平衡点 P0 (x 0 ,y 0)=(0,0) ~代数方程 0 0 + = + = cx dy ax by 的根 若从 P0某邻域的任一初值出发，都有 lim ( ) , 0 x t x t = → ∞ limt→ ∞ y ( t ) = y 0 , 称 P0是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = c d a b A 特征方程 det(A − λI ) = 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − + + + = q A p a d p q det ( ) 0 2 λ λ 特征根 ( 4 ) / 2 2 1,2 λ = −p ± p − q
线性常系数()=ax+by 的平衡点及其稳定性 微分方程组y()=cx+y Y衡点P00)特征根2=(p±p2-4y)/2 微分方程一般解形式Ce4+ce 412为负数或有负实部 p>0且q>0平衡点P0)稳隐定 p<0或q<0口平衡点P10.0)不稳定
线性常系数 微分方程组 y t cx dy x t ax by = + = + ( ) ( ) 的平衡点及其稳定性 特征根 ( 4 )/2 2 1,2 平衡点 P0(0,0) λ = −p± p − q 微分方程一般解形式 t t c e c e 1 2 1 2 λ λ + λ1,2为负数或有负实部 p > 0 且 q > 0 平衡点 P0(0,0)稳定 p < 0 或 q < 0 平衡点 P0(0,0)不稳定
军备竞赛模型 ∫x()=-ax+如+g y(t)=lx- By+h 平衡点 kh+ Bg 8+ah B-kl B-kl 稳定性判断 系数 k p=-(-B)=aB>0 矩阵 1-B q=deta=ab-kl 平衡点(xoyo)稳定的条件p>0,q>0 ab> kl
⎩⎨⎧ = − + = − + + y t lx y h x t x ky g β α ( ) ( ) 军备竞赛 模型 kl lg h y kl kh g x −+ = −+ = αβα αβ β 0 0 , 平衡点 稳定性判断 q A kl p = = − =− − − = + > αβ α β α β det ( ) 0 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − − = β αl k 系数 A 矩阵 平衡点(x0, y0)稳定的条件 p > 0, q > 0 αβ > kl