归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 旬动控制原理 (第15讲) §4根轨迹法 §4.1根轨迹法的基本概念 §4.2绘制根轨迹的基本法则 §4.3广义根轨迹 §4.4利用根轨迹分析系统性能
自动控制原理 （第 15 讲） §4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能 §4 根轨迹法
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 旬动控制原理 (第15讲) §4.2绘制根轨迹的基本法则
自动控制原理 （第 15 讲） §4.2 绘制根轨迹的基本法则
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 遝程回顾 根轨迹:系统某一参数由0→∞变化时,系统闭环极 点在s平面相应变化所描绘出来的轨迹 闭环极点与开环零点、开环极点及K*均有关 闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 KIs-z1 S-A 模值条件:G(s)H(s) 根轨迹方程 sn1|…|s-nh 相角条件:/(G(s)H(s)=∑/S2-∑SP=(2k+1)π K"II-Zi ·根轨迹增益K i=1 pj =1
课程回顾（1） • 根轨迹： 系统某一参数由 0 → ∞ 变化时，系统闭环极 点在s 平面相应变化所描绘出来的轨迹 • 闭环极点 与开环零点、开环极点及 K* 均有关 相角条件： 模值条件： • 根轨迹方程 • 根轨迹增益 • 闭环零点 = 前向通道零点 + 反馈通道极点
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY 课程回顾(2) 法则1根轨迹的起点和终点: 根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点;如果开环零点个数 少于开环极点个数,则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。 法则2根轨迹的分支数,对称性和连续性: 根轨迹的分支数三开环极点数;根轨迹连续且对称于实轴。 法则3实轴上的根轨迹: 从实轴上最右端的开环零、极点算起,奇数开环零、极点到 偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。 定理:若系统有2个开环极点,1个开环零点,且在复平面存在根轨迹, 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧
课程回顾（2） 法则1 根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数 少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。 法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性： 根轨迹的分支数 = 开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。 法则3 实轴上的根轨迹： 从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到 偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。 定理: 若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧
归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.2 绘制根轨迹的基本法则(6) 法则4根之和:∑4=C(n-m≥2) nm≥2时,闭环根之和保持一个常值。 证明:cH(=k(s=3):(s=m)=K("+bms+“+n) P1)…(S-pn) S"+a,1S"+…+a 由代数定理:-an1=∑P=∑4 C D(S=s"+a-IS H-1 十a,,S …+ao +Ks" +Kb. as +…+Kb s"+an1s"+(an2+K)sn2+(an-3+K'bn3)s"3+…+(ao+K"b D(s)=(s-x1)(-12)…(s-xn)=0 n-m≥2时,一部分根左移,另一部分根必右移,且移动总量为零
§4.2 绘制根轨迹的基本法则（6） 法则4 根之和： 证明： n i i C 1 n-m ≥ 2时，闭环根之和保持一个常值。 ( n m 2 ) 0 1 1 0 1 1 * 1 1 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s a s a K s b s b s p s p K s z s z GH s n n n m m m n m 由代数定理： n i n i a p 1 1 0 3 3 2 2 1 1 D(s) s a s a s a s a n n n n n n n an C n i i 1 1 0 3 * 3 * 2 * K s K b s K b n n n ( ) ( ) ( ) 0 * 0 3 3 * 3 * 2 2 1 s a 1s a K s a K b s a K b n n n n n n n n D(s) (s 1 )(s 2 )(s n ) 0 n-m ≥ 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零