西北工业大学自动化学院：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第16讲 广义根轨迹

②西业大兽 绘制根轨迹的法则 法则1根轨迹的起点和终点 法则2根轨迹的分支数,对称性和连续性 法则3实轴上的根轨迹 法则4根之和 ∑4=C(m-m≥2) 法则5渐近线 2k+1)兀 法则6分离点 i=l d-p 法则7与虚轴交点ReD(j]=ImD(jo)]=0 法则8出射角/入射角∑∠(s-p:)-∑∠s-z,)=(2k+1)m

绘制根轨迹的法则 法则 5 渐近线 n m p z n i m j i i a      1 1  n m k a      (2 1) 法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 根之和   n i i C 1  ( n  m  2 ) 法则 6 分离点        m j j n i i 1 d p 1 d z 1 1 法则 7 与虚轴交点 法则 8 出射角/入射角 (2k 1)π m j 1 ) j ) (s z n i 1 i (s p            ReD( j)  ImD( j)  0

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.2 绘制根轨迹的基本法则(18) 例1系统结构图如图所示 K (1)绘制当K=0→∞时系统的根轨迹 (2)分析系统稳定性随K变化的规律 (s+1)G7s-1) 2s+1 解.(1)G(S)= K(2s+1)3.5K(s+1/2) K=3.5K (s+1)2(s-1)(s+1)2 ①实轴上的根轨迹:-0.5,175 2+7/4+1/2 ②渐近线 3-1 (2k+1)丌 =±90° 3-1 ③出射角:180°-26+1809]=-180°→日=90° ④与虚轴交点:7D(s)=4s3+s2+(14K-10)s+7(K-1)=0 ReD(o)=-02+7(K-1)=0 O=0 0=√ lm[DOjl)=-4o3+(140-10)=0K=11K=97

§4.2 绘制根轨迹的基本法则（18） 例1 系统结构图如图所示 ) 4 7 ( 1) ( 3.5 ( 1 2) 1) 7 4 ( 1) ( (2 1) ( ) 2 2         s s K s s s K s 解. (1) G s ② 渐近线： 8 1 3 1 2 7 4 1 2       a        90 3 1 (2 1)  k a ① 实轴上的根轨迹：[-0.5, 1.75]      0 3.5 *v K K （1）绘制当K*= 0→∞ 时系统的根轨迹； （2）分析系统稳定性随K*变化的规律。 ③ 出射角：180 [2  180]  180    90 ④ 与虚轴交点：7 ( ) 4 (14 10) 7( 1) 0 3 2 D s  s  s  K  s  K   Re ( ) 7( 1) 0 2 D j    K   Im ( ) 4 (14 10) 0 3 D j           0 K  1   2 K  9 7

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY s4.2绘制根轨迹的基本法则(19 例1系统结构图如图所示 (1)绘制当K=0→∞时系统的根轨迹 (2)分析系统稳定性随K变化的规律 (s+1)G7s-1) 解.(2)分析: 2s+1 h(t) h(t) h(t) 单调发散 收敛 振荡发散 K=0>K0=1—k 不稳定 稳定 一Ka=9/7 不稳定 [s] jv l75 开环稳定≠闭环稳定负反馈未必一定能改善系统性能

§4.2 绘制根轨迹的基本法则（19） 例1 系统结构图如图所示 解. (2) 分析： （1）绘制当K*= 0→∞ 时系统的根轨迹； （2）分析系统稳定性随K*变化的规律。 开环稳定 ≠ 闭环稳定 负反馈未必一定能改善系统性能

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.4 绘制根轨迹的基本法则(20 K(TS+1) 例3单位反馈系统的开环传递函数为G(s+l)+’选定K值,绘制 当T变化时的根轨迹。 D(s)=S(+1)(S+2)+K(Ts+1)=0 K T +3s2+2s+K K 解.G(s K=K (s+1)(S+2) ①实轴上:[-∞,-2,-1,0 ②渐近线 qn=±60°,180° a分离点:1+1+1=0「解根 d1=-0.423 dd+i d+2 K d dd+1d+2|=0.385 ④虚轴交点 Re[D(jo)=-302+K=0 D(s)=s3+3s2+2s+K=0 a dgo) +2=0(K=6

§4.4 绘制根轨迹的基本法则（20） 例3 单位反馈系统的开环传递函数为 ( 1)( 2) ( ) *    s s s K 解. G s ② 渐近线：  1  a  60 , 180 a ① 实轴上：[-∞, -2], [-1, 0]      1 2 * v K K ( 1)( 2) ( 1) ( ) *    s s s K Ts G s ，选定K*值，绘制 ③ 分离点： 0 2 1 1 1 1      d d d 解根： 0.423 d1   ④ 虚轴交点： 1 2 0.385 * Kd  d d  d   当T变化时的根轨迹。 ( ) ( 1)( 2) ( 1) 0 * D s  s s  s   K Ts   3 2 * * * 3 2 ( ) s s s K K Ts G s     ( ) 3 2 0 3 2 * D s  s  s  s  K             Im[ ( ) 2 0 Re[ ( ) 3 0 3 2 *      D j D j K      6 2 * K 

归首士学 NORTHWESTERN POLYTFCHNICAL UNTVERSITY §4.4 绘制根轨迹的基本法则(21 G(S) K(TS+1) s(s+1)(s+2) D(s)=(S+1)(S+2)+K"(Ts+1)=0 K=20 K T K"=6 +3s2+2s+K 3 K=20 K=20 20T 0 +3s2+2s+20 20T5 (S+385)s+0.425±j22351 虚轴交点:D(s)=s3+332+(2+207)s+K"=0 Re[D(jo)=-302+20=0 =2.582 Im|D(io)=-03+(2+207)=0T=0.233

§4.4 绘制根轨迹的基本法则（21） ( 1)( 2) ( 1) ( ) *     s s s K Ts G s 虚轴交点： ( ) ( 1)( 2) ( 1) 0 * D s  s s  s   K Ts   3 2 * * * 3 2 ( ) s s s K K Ts G s     ( ) 3 (2 20 ) 0 3 2 * D s  s  s   T s  K  20 * K  6 * K  3 * K  20 * K  3 2 20 20 ( ) 3 2 *     s s s Ts G s ( 3.85)[ 0.425 2.235] 20 ( ) * s s j Ts G s                 Im[ ( )] (2 20 ) 0 Re[ ( )] 3 20 0 3 2      D j T D j      0.233 2.582 T 