素都是两数之和性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变（2）行列式的计算：教学流程利用行列式的性质把行列式化成上三角形。特殊行注意特殊解法。教学后记
教学流程 素都是两数之和 性质 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变. （2）行列式的计算： 利用行列式的性质把行列式化成上三角形。 特殊行注意特殊解法。 教 学 后 记
章节（单元）教案要素行列式内容行列式按行（列）展开教学2章节名称$1.3行列式按行（列）展开时数1.3.1余子式、代数余子式单元内容时间年月日第节1.3.2行列式按行（列）展开定理知识目标：理解行列式的性质，会利用行列式的性质计算n阶行列式。能力目标：通过行列式的性质的学习培养学生的数学逻辑思维教学目标能力；通过行列式的计算培养学生灵活应用数学知识解决问题的能力及计算能力。思政目标：通过对数学家范德蒙德在数学领域中成就的简介，培养学生不断钻研的治学态度和勇于攀登的进步精神。重点：行列式的性质。重点难点难点：利用行列式的性质计算行列式。教师课前充分备课，了解学情：学生需要具备初等数学知识和教学要求计算技能。教学方法课堂讲授、启发式教学、案例教学等授课方式线上线下混合式教学作业：习题一8.（2）（3）（4）9.（2）（3)10.11.12.练习13.14.15.作业思考：习题一（B）4.7.9.（2）（3)1.吴赣昌．线性代数．北京：中国人民大学出版社.20062.吴传生经济数学线性代数（第二版），北京：高等教育出参考版社.2009资料3.同济大学数学系．工程数学：线性代数（第六版）.北京：高等教育出版社．2014
章节（单元）教案 要 素 行列式 内 容 行列式按行（列）展开 章节名称 §1.3 行列式按行（列）展开 教学 时数 2 单元内容 1.3.1 余子式、代数余子式 1.3.2 行列式按行（列）展 开定理 时间 年 月 日 第 节 教学目标 知识目标:理解行列式的性质，会利用行列式的性质计算 n 阶行 列式。 能力目标:通过行列式的性质的学习培养学生的数学逻辑思维 能力；通过行列式的计算培养学生灵活应用数学知识解决问题的能 力及计算能力。 思政目标:通过对数学家范德蒙德在数学领域中成就的简介，培 养学生不断钻研的治学态度和勇于攀登的进步精神。 重点难点 重点：行列式的性质。 难点：利用行列式的性质计算行列式。 教学要求 教师课前充分备课，了解学情；学生需要具备初等数学知识和 计算技能。 教学方法 课堂讲授、启发式教学、案例教学等 授课方式 线上线下混合式教学 练 习 作 业 作业：习题一 8.（2）（3）（4） 9.（2）（3） 10. 11. 12. 13. 14. 15. 思考: 习题一（B）4. 7. 9.（2）（3） 参 考 资 料 1.吴赣昌. 线性代数. 北京：中国人民大学出版社.2006 2.吴传生. 经济数学线性代数（第二版）. 北京: 高等教育出 版社.2009 3.同济大学数学系．工程数学：线性代数（第六版）.北京：高 等教育出版社．2014
章节（单元）教案导入：上节课我们认识了行列式并且会用行列式的定义计算一些比较特殊的行列式，（互动环节：下面我将请一位同学来说一下行列式展开式的特点。）但是对于一般的行列式或者是用定义法展开后项数比较多的行列式，定义法就显得有些麻烦甚至解不出来，那么今天这一节我们由行列式的定义推导出一些性质，用以简化行列式的计算。引出今天要学的内容：行列式的性质。新知讲解：一、余子式、代数余子式定义1在n阶行列式D中划去元素a,所在的第i行第j列后，余下的n-1阶行列式，称为D中元素a,的余子式，记为M,再记A,=(-1)i+JM，，称A,为元素a，的代数余子式.教学流程二、行列式按行（列）展开定理定理1n阶行列式D=a等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即（1.13)D=anAi+a2A2+..+anAm(i=1,2,",n)或D=aijAl,+a2jA2j+...+amAg(j=1,2,,n)定理2行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即(1.14)aiAji+ai2Aj2++ainAm=0(ij)或auiA, +a2iA2, +...+amAg=0(i)例1计算行列式200410D.01232解：按第1行展开得
章节（单元）教案 教学流程 导入： 上节课我们认识了行列式并且会用行列式的定义计算一些比较特殊的行 列式，（互动环节：下面我将请一位同学来说一下行列式展开式的 特点。）但是对于一般的行列式或者是用定义法展开后项数比较多的行列式， 定义法就显得有些麻烦甚至解不出来，那么今天这一节我们由行列式的定义 推导出一些性质，用以简化行列式的计算。 引出今天要学的内容：行列式的性质。 新知讲解： 一、余子式、代数余子式 定义 1 在 n 阶行列式 D 中划去元素 ij a 所在的第i 行第 j 列后，余下的 n 1阶 行列式，称为 D 中元素 ij a 的余子式，记为 Mij .再记 ij i j Aij M (1) ，称 Aij 为 元素 ij a 的代数余子式. 二、行列式按行（列）展开定理 定理 1 n 阶行列式 ij D a 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数 余子式乘积的和，即 ( 1,2, , ) 1 1 2 2 D a A a A a A i n i i i i in in （ 1.13） 或 ( 1,2, , ) 1 1 2 2 D a A a A a A j n j j j j nj nj 定理 2 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式 乘积之和等于零.即 0 ( ) 1 1 2 2 a A a A a A i j i j i j in jn （1.14） 或 0 ( ) 1 1 2 2 a A a A a A i j i j i j ni nj 例 1 计算行列式 0 2 3 2 5 0 1 0 3 1 0 0 2 0 0 4 D 解： 按第 1 行展开得
100310D=2·(-1)+/0 1 0+4.(-1)l44501=2x2-4×(-6-15)=88232023（互动环节：在这道例题中发现，使用定理1时，应选择零元素较多的行（或列）展开，可以简化运算）[2 +122例2已知-2元+4-5=0,求入.2-2入+1解：21a+3[a+120元+3[2+300i+r3-0-2-2+45-21+4-51+4-3==12-2a+12-22+12-2a-1[1+4-3=(1 +3)11-2=(α +3)[(α + 4)( -1)-6]=(+3)(+5)(-2)=0所以，入=-3,-5,2是这个入的三次方程的3个根例3证明范德蒙德（Vandermonde）行列式111...XiX2XnII(x -x),(1.15)D, =Xix2xnn≥i>j≥1目::[x,-1x2-1...x-教学流程其中记号“Ⅱ”表示全体同类因子的乘积（思政内容：Vandermonde（范德蒙：法国数学家）首次对行列式理论进行系统的阐述成为行列式的奠基人。范德蒙在高等代数方面有重要贡献。他在1771年发表的论文中证明了多项式方程根的任何对称式都能用方程的系数表示出来。他不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究。他给出了用二阶子式和它的余子式来展开行列式的法则，还提出了专门的行列式符号。他还有拉格朗日的预解式、置换理论等思想，为群的观念的产生做了一些准备工作。）证：用数学归纳法.因为11D2 ==x2 -X = II(, -x))xX222i>j21所以当n=2时（1.15）式成立.现在假设（1.15）式对于n-1阶范德蒙德行列式成立，要证（1.15）式对n阶范德蒙德行列式也成立
教学流程 2 2 4 ( 6 15) 88 0 2 3 5 0 1 3 1 0 4 ( 1) 2 3 2 0 1 0 1 0 0 2 ( 1)1 1 1 4 D (互动环节：在这道例题中发现，使用定理 1 时，应选择零元素 较多的行（或列）展开，可以简化运算) 例 2 已知 0 2 2 1 2 4 5 1 2 2 ，求 . 解： 1 3 3 1 1 2 2 3 0 3 3 0 0 2 4 5 2 4 5 2 4 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 3 3 2 1 3 4 1 6 3 5 2 0 ( ) ( )[( )( ) ] ( )( )( ) r r c c 所以， 3,5,2 是这个 的三次方程的 3 个根. 例 3 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 ( ) 1 1 1 n i j i j n n n n n n n x x x x x x x x x x x D ， （1.15） 其中记号“ ”表示全体同类因子的乘积. (思政内容：Vandermonde（范德蒙：法国数学家）首次对行列 式理论进行系统的阐述成为行列式的奠基人。范德蒙在高等代数方 面有重要贡献。他在 1771 年发表的论文中证明了多项式方程根的 任何对称式都能用方程的系数表示出来。他不仅把行列式应用于解 线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究。他给出了 用二阶子式和它的余子式来展开行列式的法则，还提出了专门的行 列式符号。他还有拉格朗日的预解式、置换理论等思想，为群的观 念的产生做了一些准备工作。） 证： 用数学归纳法.因为 2 1 2 1 1 2 2 ( ) 1 1 i j i j x x x x x x D 所以当 n 2时（1.15）式成立.现在假设（1.15）式对于 n 1阶范德蒙德行列 式成立，要证（1.15）式对 n 阶范德蒙德行列式也成立
为此，设法把D，降阶：从第n行开始，后行减去前行的x倍，有1111..PX2 -XjX3-XXnXID, =02(x2 -x))X(xg -x)..x(x-x)::0x2-2(x2-x)x-2(x3-x)).x-2(x-x))按第1列展开，并把每列的公因子（x,-x）提出，就有111.XX2Dn =(x2 -x)(x3 -X))..-(xn -x))：2 -2 2上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有(x,-x)因子的乘积，其中n≥i>j≥2.故D, =(x2 -)(x3 -1)-(x, -x1) II(x, -x)= II(x -x)ni>j≥2n≥i>j≥l例4计算行列式1111123414916教学流程182764解：利用范德蒙德行列式的结论，有1111111234234= (2 1)(3 1)(4 1)(3 2)(4 2)(4 3) = 12223249164218276412333430-3 7121O1例5设4阶行列式D=-34031-22 -1求（1）D的代数余子式A12(2) Al-2A2 +2Ai3- Al4(3)Au + A21 +2Ag) +2A4l021解：（1）Ai2可按定义求出，A2=(-1)*2303=612-1（2）A-2A2+2A13-A4=0（是第四行元素乘以第一行元素的代数余子式）（3）对于问题（3）D中没有1、1、2、2这列可以构造一个新行列式
教学流程 为此，设法把 Dn 降阶：从第 n 行开始，后行减去前行的 1x 倍，有 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 2 3 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 3 3 1 1 2 1 3 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n 按第 1 列展开，并把每列的公因子 ( ) 1 x x i 提出，就有 2 2 3 2 2 2 3 2 1 3 1 1 1 1 1 ( )( ) ( ) n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x 上式右端的行列式是 n 1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所 有( ) i j x x 因子的乘积，其中 n i j 2 .故 2 1 2 1 3 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) n i j i j n i j n n i j D x x x x x x x x x x 例 4 计算行列式 1 8 27 64 1 4 9 16 1 2 3 4 1 1 1 1 解：利用范德蒙德行列式的结论，有 (2 1)(3 1)(4 1)(3 2)(4 2)(4 3) 12 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 1 8 27 64 1 4 9 16 1 2 3 4 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 例 5 设 4 阶行列式 1 2 2 1 3 4 0 3 0 1 2 1 1 0 3 7 D 求 （1） D 的代数余子式 A12 （2） 11 12 13 14 A 2A 2A A （3） 11 21 31 41 A A 2A 2A 解：（1） A12 可按定义求出， 6 1 2 1 3 0 3 0 2 1 ( 1)1 2 12 A （2） 2 2 0 A11 A12 A13 A14 （是第四行元素乘以第一行元素的代数余 子式） （3）对于问题（3） D 中没有 1、1、2、2 这列可以构造一个新行列式