晋中学院：《线性代数》课程授课教案（章节讲义，公共必修课）

章节（单元）教案导入：上节课我们认识了行列式并且会用行列式的定义计算一些比较特殊的行列式，（互动环节：下面我将请一位同学来说一下行列式展开式的特点。）但是对于一般的行列式或者是用定义法展开后项数比较多的行列式，定义法就显得有些麻烦甚至解不出来，那么今天这一节我们由行列式的定义推导出一些性质，用以简化行列式的计算。引出今天要学的内容：行列式的性质。新知讲解：一、n阶行列式的性质记：a2.ana.ana21a22...a2na12a22...an2DT:D=：::::Jaina2n...amanlan2...am行列式DI称为行列式D的转置行列式性质1行列式与它的转置行列式相等教学流程bbi2..binb2b22.b2n证明：记D=det(a,)的转置行列式DT目bmbn....bm即DT的(i,j)元素为bu，则b,=a(i,j=1,2,.n)，按定义DT=(-1)bip,b2p..bp.=E(-1)"aplap:2 ap."由定理3，有D=Z(-1)'aplap2apun，故DT=D性质2互换行列式的两行（列），行列式变号证明：设行列式bbi2..bnb2b22..b2nDr =:Dmbn2..bm是由行列式D=det(au）对换i,j两行得到的，即当k+i,j时，bp=ap；当=i,j时，bp=ajp,bp=ap

章节（单元）教案 教学流程 导入： 上节课我们认识了行列式并且会用行列式的定义计算一些比较特殊的行 列式，（互动环节：下面我将请一位同学来说一下行列式展开式的 特点。）但是对于一般的行列式或者是用定义法展开后项数比较多的行列式， 定义法就显得有些麻烦甚至解不出来，那么今天这一节我们由行列式的定义 推导出一些性质，用以简化行列式的计算。 引出今天要学的内容：行列式的性质。 新知讲解： 一、n 阶行列式的性质 记： n n nn n n a a a a a a a a a D       1 2 21 22 2 11 12 1  ， n n nn n n T a a a a a a a a a D       1 2 12 22 2 11 21 1  行列式 T D 称为行列式 D 的转置行列式. 性质 1 行列式与它的转置行列式相等. 证明： 记 det( ) ij D  a 的转置行列式 n n nn n n T b b b b b b b b b D       1 2 21 22 2 11 12 1  即 T D 的(i, j) 元素为 ij b ，则b a (i, j 1,2, n) ij  ji   ，按定义     p p p n t p p np T t n n D b b b a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( 1) 由定理 3，有   p p p n t n D a a a 1 2 1 2 ( 1) ，故 D D T  . 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 证明：设行列式 n n nn n n b b b b b b b b b D       1 2 21 22 2 11 12 1 1  是由行列式 det( ) ij D  a 对换 i, j 两行得到的，即当 k  i, j 时， kp kp b  a ；当 k  i, j 时， ip jp jp ip b  a ,b  a

（互动环节：请同学们思考互换两行的位置后对行列式的展开式有什么影响？）于是D, -E(-1).bip.bp. p .bp.-E(1)' p pap, m.-E(-1)'aup"aip,"jp""amp.其中，.....n为自然排列，为排列p·,·，的逆序设排列PiP,pPn的序数为，则（-I)=-(-1)，故证D =-Z(-1) aipap, p- am.=- 毕以表示行列式的第i行，以c,表示行列式的第i列，交换i,j两行记为nrj，交换i,j两列记作c,cj性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式证明：D = E(-I)r...kau.am = E(-1)(..aijai..an.Ji2--J.jiis"jn= kD把第i行（或列）乘以k，记作r,xk(或c,×k)性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：(ar +bi)2..ain(a2; +b2i)..a2na21a22.D=教学流程1：目(am+bm)... amanam2.ain[a1a12：a2.briavi..ain...a2n21a22….n.a2ma21a22a2i则D=国主:::amJanlan2bi...amanlan2...ani证明：D= Z(-)()a(ag, +b,)am.ii-J=Z(1aagm +Z(1aw-bm.JijijJii2J.= D + D2

教学流程 （互动环节：请同学们思考互换两行的位置后对行列式的展开 式有什么影响？） 于是          j i n i j n i j n p ip jp np t p jp ip np t p ip jp np t a a a a a a a a D b b b b          1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 其中，1i jn 为自然排列，t 为排列 i j n p  p  p  p 1 的逆序设排列 j i n p  p  p  p 1 的 逆 序 数 为 1 t ， 则 1 ( 1) ( 1) t t     ， 故 证 D a a a a D j i n p ip jp np t         1 1 1 1 ( 1) 毕 以 ir 表示行列式的第 i 行，以 i c 表示行列式的第 i 列，交换 i, j 两行记为 i j r  r ，交换i, j 两列记作 i j c  c . 性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘 此行列式. 证明 ： kD D a ka a k a a a n i n n n i n n j j j j ij nj j j j j j j j ij nj j j j                1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1) ( 1)   把第i 行（或列）乘以 k ，记作 r k( c k) i  或 i  . 性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i 列的元素都 是两数之和：       n n ni ni nn i i n i i n a a a b a a a a b a a a a b a D               1 2 21 22 2 2 2 11 12 1 1 1 则 n n ni nn i n i n n n ni nn i n i n a a b a a a b a a a b a a a a a a a a a a a a a D                     1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1   证明： 1 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) D D a a a a b a D a a b a n i n i n n i n i n n i i n i n j j j j ij nj j j j j j j j ij nj j j j j j j j ij ij nj j j j                              

性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变知识点巩固：二、行列式的计算01 1 21 -102例1计算行列式D=-1 22-101 021-1 2-10 201 -10-121-101An-12解：D=0-1-1 -12-1 202211101 01-102-10210-1-120-1-125-15+12=一01 -1200-24T4-2h4+30300-21-41-102教学流程0-1-1TA-52= - 1× (- 1)× (-2)× (-2)= 4=-00-24000-2lan6aa133a12-9a13a12例2设=2，求2a213a23α 23a2a21a 22a33[-2a313a33a32[a 31 a 32解：2a‘6a1-9aj33a13-3ai2Q122a213a23=-32a213a23a22a222as13ag32a31as23a3a32aiai2a13= -3x(-2)×3|a21=18×2=36a22a23[31a33a32

教学流程 性质 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变. 知识点巩固： 二、行列式的计算 例 1 计算行列式 0 1 1 2 1 1 0 2 1 2 1 0 2 1 1 0 D       解： 0 1 1 2 1 1 0 2 1 2 1 0 2 1 1 0 D       1 2 1 1 0 2 0 1 1 2 1 2 1 0 2 1 1 0 r r        3 1 4 1 2 1 1 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 3 1 4 r r r r          3 2 4 2 3 1 1 0 2 0 1 1 2 0 0 2 4 0 0 2 2 r r r r          4 3 1 1 0 2 0 1 1 2 1 ( 1) ( 2) ( 2) 4 0 0 2 4 0 0 0 2 r r                 例 2 设 2 31 32 33 21 22 23 11 12 13  a a a a a a a a a ，求 31 32 33 21 22 23 11 12 13 2 3 2 3 6 3 9 a a a a a a a a a     . 解： 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 11 12 13 21 22 23 31 32 33 6 3 9 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 ( 2) 3 18 2 36 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                 

Xaa..x0aC例3计算n阶行列式D=aaaa..x解：该行列式每行元素之和相等，此时把各列都加到第1列，提出第1列的公因子x+n-1)a，然后将第1行乘以-1分别加到其余各行，D就化为上三角行列式，即IaQ.axaCG+C2+-+D[x+(n-1)a]1ax=iaa1aaa-0x-a00-r-r-[x+(n- 1)a]00x-a0...3.....:..Fa=f000.x-a[x+(n-1)a](x-a)d教学流程0Jai-ai000a2-a2例4计算D=00a3-as1111解：根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，这样行列式化为一个下三角行列式.e000ai00000a00Cg+e000C,+c/0002+02a2-a2D=== 4a2a3000000a3-a3a3-a3a30211123112134（互动环节：请同学们自已思考练习计算，老师随后给出答案，下讲台巡视计算情况。）例5证明奇数阶反对称行列式的值为零，其中，反对称行列式为下列形式的行列式：0..aina12a130Q12a23...a2no..a3mna13a23目n..o-ain-a2n-an其特点是元素a,=-a,(i±j)，a,=0(i=j)

教学流程 例 3 计算 n 阶行列式 a a a x a a x a a x a a x a a a D           . 解：该行列式每行元素之和相等，此时把各列都加到第 1 列，提出第 1 列的公因子 x  (n 1)a ，然后将第 1 行乘以-1 分别加到其余各行， D 就化为 上三角行列式，即 1 [ ( 1) ]( ) 0 0 0 0 0 0 1 [ ( 1) ] 1 1 1 1 [ ( 1) ] 2 1 1 3 1 1 2                     n r r r r r r c c c x n a x a x a x a a x a a a a a a x n a a a x a x a x a a a a a D x n a n n                     例 4 计算 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 3 3 2 2 1 1 a a a a a a D     解：根据行列式的特点，可将第 1 列加至第 2 列，然后将第 2 列加至第 3 列，再将第 3 列加至第 4 列，这样行列式化为一个下三角行列式. 1 2 3 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2 2 1 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 3 2 4 3 a a a a a a a a a a a a a a a D c c c c c c           （互动环节：请同学们自己思考练习计算，老师随后给出答案， 下讲台巡视计算情况。） 例 5 证明奇数阶反对称行列式的值为零，其中，反对称行列式为下列形式的 行列式： 0 0 0 0 1 2 3 13 23 3 12 23 2 12 13 1         n n n n n n a a a a a a a a a a a a       其特点是元素 a a (i j) ij   ji  ， aij  （0 i  j）

0a12aina130a23.a2α12证明：设D=0..a3n-013-a23:::0-ain-a2n-a3m利用行列式性质1及性质3的推论1，有0a12a13aun0012a23a2n"D=0α23a3na13目.1：0-aun-a2n-a3n0-Q12Q13-ain0ai2-Q23.-2n0... -a3n11a13a2381E:教学流程0aina2na3n.0a12aina130α12a23a2n0...a3n=(-1)"-a131-a23：目目-ain0.-a2n-a3n=(-1)" D当n为奇数时有D=-D，即D=0.（思政内容：通过练习，强调行列式性质的灵活应用，如何利用行列式的性质化行列式为三角形，体会几种行列式基本形式的相互关系与转化过程，体会数学化归思想。这种以“变”为突破，以“不变”为根基的解决问题的方法是“形变质不变”的完美体现，培养学生看待问题和解决问题时要抓住问题的实质，不要被表象迷惑。)课堂评测：习题1中：8.（1）（2）9.（1)12.内容小结：（1）行列式的性质：性质1行列式与它的转置行列式相等性质2互换行列式的两行（列），行列式变号性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第1列的元

教学流程 证明： 设 0 0 0 0 1 2 3 13 23 3 12 23 2 12 13 1         n n n n n n a a a a a a a a a a a a D        利用行列式性质 1 及性质 3 的推论 1，有 D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ( 1) 0 0 0 0 ( 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 13 23 3 12 23 2 12 13 1 1 2 3 13 23 3 12 23 2 12 13 1 1 2 3 13 23 3 12 23 2 12 13 1                                                 当 n 为奇数时有 D  D ，即 D  0 . （思政内容：通过练习，强调行列式性质的灵活应用，如何利 用行列式的性质化行列式为三角形，体会几种行列式基本形式的相 互关系与转化过程，体会数学化归思想。这种以“变”为突破，以 “不变”为根基的解决问题的方法是“形变质不变”的完美体现， 培养学生看待问题和解决问题时要抓住问题的实质，不要被表象迷 惑。） 课堂评测： 习题 1 中：8.（1）（2） 9.（1） 12. 内容小结： （1）行列式的性质： 性质 1 行列式与它的转置行列式相等. 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i 列的元