10-372111这个行列式虽然与D值不同，但D,的代数余子设为：D,=24032 -2 2 -1式Al1,A21,A31,A4l与D的相同，对D,按第一列展开就有10-371121=144A + A21 +2 A31 +2 A41 = D, =-20-8-4062100012100例6计算0121000120001211002101解：将原行列式记为Ds，按第一行展开Ds=2D4= 2D4 - D31210012教学流程整理得Ds-D4=D4-D,=D-D2=D2-D,=3-2=1Ds =D4 +1=D3+2= D2 +3=D +4=6很多行列式的计算都可以利用递推公式法求得*三、行列式按k行（列）展开定理（拉普拉斯定理）定理3（拉普拉斯定理）在n阶行列式中，任意取定k行（列）（1≤k≤n-1)，由这k行（列）组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.23001230的值例7用拉普拉斯定理求行列式01230012解：按第一行和第二行展开230023(-1+2 3/2 0.230(-1*1 3/3 0(-1)3|0 312320222310[213020012=112 +0 = 11课堂评测：习题1中：8.（1）（2）9.(1)12内容小结：（1）行列式的性质：
教学流程 设为： 2 2 2 1 2 4 0 3 1 1 2 1 1 0 3 7 1 D 这个行列式虽然与 D 值不同，但 D1 的代数余子 式 11 21 31 41 A , A , A , A 与 D 的相同，对 D1 按第一列展开就有 144 4 0 6 ` 2 0 8 1 1 1 2 1 1 0 3 7 2 2 11 21 31 41 1 A A A A D . 例 6 计算 0 0 0 1 2 0 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 0 解：将原行列式记为 D5 ,按第一行展开 5 4 4 3 2 0 0 1 2 0 1 2 1 0 2 1 0 1 1 0 0 D 2D D D 整理得 3 2 1 D5 D4 D4 D3 D3 D2 D2 D1 1 2 3 4 6 D5 D4 D3 D2 D1 . 很多行列式的计算都可以利用递推公式法求得. *三、行列式按 k 行（列）展开定理（拉普拉斯定理） 定理 3（拉普拉斯定理）在 n阶行列式中，任意取定 k 行（列）(1 k n 1) ， 由这 k 行（列）组成的所有 k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等 于行列式 D . 例 7 用拉普拉斯定理求行列式 0 0 1 2 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 0 的值. 解：按第一行和第二行展开 1 12 0 11 0 2 0 3 ( 1) 2 3 3 0 0 2 1 3 ( 1) 1 3 2 0 1 2 2 3 ( 1) 1 2 2 3 0 0 1 2 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 0 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3 课堂评测： 习题 1 中：8.（1）（2） 9.（1） 12. 内容小结： （1）行列式的性质：
性质1行列式与它的转置行列式相等性质2互换行列式的两行（列），行列式变号性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元教学流程素都是两数之和性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变（2）行列式的计算：利用行列式的性质把行列式化成上三角形。特殊行注意特殊解法。教学后记
教学流程 性质 1 行列式与它的转置行列式相等. 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i 列的元 素都是两数之和 性质 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变. （2）行列式的计算： 利用行列式的性质把行列式化成上三角形。 特殊行注意特殊解法。 教 学 后 记
章节（单元）教案要素行列式内容克拉默法则教学$1.4克拉默法则2章节名称时数第一章行列式习题课1.4.1克拉默法则解线性方程组及在齐次线性方程组上单元内容时间年月日节第的应用第一章习题课知识目标：理解和掌握克拉默（Cramer）法则及使用条件，掌握齐次线性方程组非零解的判定。能力目标：通过行列式展开定理的学习，进一步提升学生的行列教学目标式计算能力。思政目标：通过对数学家克拉默的简介，培养学生严谨和不断钻研的治学态度，及为科学的献身精神。重点：克拉默法则应用。重点难点难点：克拉默法则应用。教师课前充分备课，了解学情；学生需要具备初等数学知识和教学要求计算技能。教学方法课堂讲授、启发式教学、案例教学等授课方式线上线下混合式教学作业：习题一8.（3）(4)9.(2)(3)10.11.12.练习13.14.15.作业思考：习题一（(B) 4. 7.9. (2)(3)1.吴赣昌．线性代数北京：中国人民大学出版社.20062.吴传生．经济数学线性代数（第二版）：北京：高等教育出参考版社.2009资料3.同济大学数学系.工程数学：线性代数（第六版）.北京：高等教育出版社．2014
章节（单元）教案 要 素 行列式 内 容 克拉默法则 章节名称 §1.4 克拉默法则 第一章 行列式习题课 教学 时数 2 单元内容 1.4.1 克拉默法则解线性方 程组及在齐次线性方程组上 的应用 第一章 习题课 时间 年 月 日 第 节 教学目标 知识目标:理解和掌握克拉默(Cramer)法则及使用条件 ，掌握 齐次线性方程组非零解的判定。 能力目标:通过行列式展开定理的学习，进一步提升学生的行列 式计算能力。 思政目标:通过对数学家克拉默的简介，培养学生严谨和不断钻 研的治学态度，及为科学的献身精神。 重点难点 重点：克拉默法则应用。 难点：克拉默法则应用。 教学要求 教师课前充分备课，了解学情；学生需要具备初等数学知识和 计算技能。 教学方法 课堂讲授、启发式教学、案例教学等 授课方式 线上线下混合式教学 练 习 作 业 作业：习题一 8.（3）（4） 9.（2）（3） 10. 11. 12. 13. 14. 15. 思考: 习题一（B）4. 7. 9.（2）（3） 参 考 资 料 1.吴赣昌. 线性代数. 北京：中国人民大学出版社.2006 2.吴传生. 经济数学线性代数（第二版）. 北京: 高等教育出 版社.2009 3.同济大学数学系．工程数学：线性代数（第六版）.北京：高 等教育出版社．2014
章节（单元）教案导入：同学们我们现在回忆一下本章开始，为了求解两个二元一次方程构成的方程组，引入了二阶行列式的概念，然后指出若这个方程组的“系数行列式”不等于0，则方程组具有唯一解，且这个唯一解可以借助行列式符号简单的表示。本节我们来推广上述内容，即对一般情形下由n个n元线性方程构成的方程组回答以下两个问题：（1）满足什么条件时这个方程组有唯一解？（2）有唯一解时这个解如何求出？关于这两个问题我们可以用一个著名的法则一一克莱姆法则，在讲克莱姆法则之前，让我们先来认识一下数学家克拉姆：（思政内容：（Cramer，Gabriel，瑞士数学家1704-1752）克莱姆克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与教学流程约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。）新知讲解：定理1（克莱姆法则）如果线性方程组aii +ai22 +..+ainxn =ba2ixj+a22x2+...+a2nx,=b2①....aniXj+an2X2+...+amXn=b的系数行列式不等于零，即
章节（单元）教案 教学流程 导入： 同学们我们现在回忆一下本章开始，为了求解两个二元一次方程构成的 方程组，引入了二阶行列式的概念，然后指出若这个方程组的“系数行列式” 不等于 0，则方程组具有唯一解，且这个唯一解可以借助行列式符号简单的表 示。 本节我们来推广上述内容，即对一般情形下由 n 个 n 元线性方程构成的 方程组回答以下两个问题： （1）满足什么条件时这个方程组有唯一解？ （2）有唯一解时这个解如何求出？ 关于这两个问题我们可以用一个著名的法则——克莱姆法则，在讲克莱 姆法则之前，让我们先来认识一下数学家克拉姆： （思政内容：（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752） 克 莱姆克莱姆 1704 年 7 月 31 日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734 年成为几何学教授，1750 年 任哲学教授。他自 1727 年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与 约翰．伯努 利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷 兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信 中， 加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。 他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望 重，先后当选为伦敦 皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。主要著作是 《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超 越曲线和无理曲线等概念，第一 次正式引入坐标系的纵轴（Y 轴）， 然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了 确定经过 5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法 则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于 1729 年由英国数学家马克劳林得到，1748 年发表，但克莱姆的优 越符号使之流传。） 新知讲解： 定理 1 （克莱姆法则）如果线性方程组 n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ① 的系数行列式不等于零，即
an.ainD=：*0,an.am那么，方程组（1-7）有唯一解Dir D2Dn(1. 16)..,XX"D+1DD其中D，（j=1,2,,n）是把系数行列式D中的第j列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即a.. ay-biaj+.aina2a2,j- b2a2,j+1..a2nD;=1：1..:an..an,j-bnan,j+1.am证明：略。例1求解下列三元线性方程组Xi - x2 +2x3 =62X1-X2-X3 =5教学流程[ +X2 -2x3 = -2解：系数行列式[1-1 2D=2 -1 -1：=2+4+1+2+1-4=6±011-2用克拉默法则求方程组的解.因[6-121621-16-1=12, D, =25-1=-12,D,=2-1 5=6,D, =5:-2 -2-2 1 21-21当所以DD2D=1=2,X2=-2,x3X =-DDD例2已知某圆过点A(2,1),B(3,4),P(-2,-1),试求其方程及圆心和半径解：此题用平面解析几何的方法容易求解.这里用待定系数法求圆的方程设圆的一般方程为x?+y2+ax+by+c=0点A,B,P在圆上，它们的坐标满足方程，得
教学流程 0 1 11 1 n nn n a a a a D ， 那么，方程组（1-7）有唯一解 D D x 1 1 , D D x 2 2 ,., D D x n n , (1.16) 其中 Dj（ j 1,2,, n ）是把系数行列式 D 中的第 j 列元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即 n n j n n j nn j j n j j n j a a b a a a a b a a a a b a a D 1 , 1 , 1 21 2, 1 2 2, 1 2 11 1, 1 1 1, 1 1 . 证明：略. 例 1 求解下列三元线性方程组 2 2 2 5 2 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解：系数行列式 2 4 1 2 1 4 6 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 D 用克拉默法则求方程组的解.因 12 2 1 2 5 1 1 6 1 2 1 D ， 12 1 2 2 2 5 1 1 6 2 2 D ， 6 1 1 2 2 1 5 1 1 6 3 D ， 所以 2 1 1 D D x , 2 2 2 D D x , 1 3 3 D D x 例 2 已知某圆过点 A(2,1) , B(3,4) , P(2,1) ,试求其方程及圆心和半径. 解：此题用平面解析几何的方法容易求解.这里用待定系数法求圆的方程. 设圆的一般方程为 0 2 2 x y ax by c 点 A, B, P 在圆上，它们的坐标满足方程，得