(-1)am1%m2"apm，也总有且仅有D中某一项(-1)aig2gam与之对应并相等，于是D与D,中的项可以一一对应并相等，从而D=D例4计算n阶行列式00ar00...a21a2D=a31ag2.a33an2anlO0am的值，其中aa+0(i=1,2,,n)解：记行列式的一般项为(-1)(h)au,aham.D中有很多项为零，现在考察有哪些项不为零.一般项中第一个元素4h取自第一行，但第一行中只有α.不为零，因而j=1，即D中只有含有α.的教学流程那些项可能不为零，其他项均为零；一般项中第二个元素α2，取自第二行，第二行中有a,和az不为零，因第一个元素a.已取自第一列，因此第二个元素不能再取自第一列，即不能取a，所以第二个元素只能取a2，从而j2=2,即D中只有含αuα2的那些项可能不为零，其他项均为零，这样推下去，可得Jj,=3,J。=4,J,=n.因此，D中只有aia2am这一项不为零，其他项均为零.由于t(12n)=0，因此这一项应取正号，于是可得000an0021a2D=(1.8)aa..=aa22033*--amn1.aman2an.am称上面形式的行列式为下三角形行列式类似地可以证明：
教学流程 1 2 1 2 ( 1) n t p p p n a a a ，也总有且仅有 D 中某一项 1 2 1 2 ( 1) n s q q nq a a a 与之对应并相 等，于是 D 与 D1中的项可以一一对应并相等，从而 D D1 . 例 4 计算 n阶行列式 11 21 22 31 32 33 1 2 3 0 0 0 0 0 0 n n n nn a a a D a a a a a a a 的值，其中 0( 1,2, , ) ii a i n . 解：记行列式的一般项为 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n j j j j j nj a a a D 中有很多项为零，现在考察有哪些项不为零.一般项中第一个元素 1 1 j a 取自第一行，但第一行中只有 11 a 不为零，因而 1 j 1，即 D 中只有含有 11 a 的 那些项可能不为零，其他项均为零；一般项中第二个元素 1 2 j a 取自第二行，第 二行中有 21和 22 a a 不为零，因第一个元素 11 a 已取自第一列，因此第二个元素 不能再取自第一列，即不能取 21 a ，所以第二个元素只能取 22 a ，从而 j2 2 ， 即 D 中只有含 11 22 a a 的那些项可能不为零，其他项均为零，这样推下去，可得 3 4 3, 4, n j j j n .因此， D 中只有 11 22 nn a a a 这一项不为零，其他项均为 零.由于 (12n) 0 ，因此这一项应取正号，于是可得 11 21 22 31 32 33 11 22 33 1 2 3 0 0 0 0 0 0 nn n n n nn a a a D a a a a a a a a a a a (1.8) 称上面形式的行列式为下三角形行列式. 类似地可以证明：
000aa2atnain...ain-000a2n-Ia2na21a2a2n-...n(n-1)..00:...:a3ia32...=(-1)2αA2+"-a目::..:"....:...000anan2ammAnl.+am-(1.9)因为在给定行列式中，非零项只有一项，即(n-1)(-1)(* m-21) ana2n--"a =(-1) awa2m-al同理，有100...。a000..a2n-m(n-1)00...:=(-1) 2n2n-I"*.a：:.Jamo...00(1.10)教学流程这些结论在以后行列式的计算中可直接应用由行列式定义不难得出：一个行列式若有一行（或一列）中的元素皆为零，则此行列式必为零知识点巩固：J00002例5计算行列式D=304000解：一般项为(-1)b)ay,a2:asgal，现考察不为零的项.a,取自第一行，但只有a40，故只可能j=4，同理可得J=3，j=2，Jj4=1.即行列式中不为零的项只有(-1)(43214)1-2·3.4=24，所以D=24（或直接利用（1.10）的结果）例6已知a2343i2a,as64是六阶行列式中的一项，求i,j，并确定该项的符号（互动环节：提问学生，教师加以引导）解：由行列式的定义可知，行列式的每一项的元素均取自不同行、不同列.所以有i=6,j=5，再将该项的行标按自然数的顺序排好，得a14A23431a2s66s列标的逆序数为t(431265)=1+2+2+1=6为偶排列故此项符号为正号
教学流程 11 12 1 1 1 1 21 22 2 1 2 1 2 ( 1) 2 31 32 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 0 n n n n n n n n n n n n n n nn nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a (1.9) 因为在给定行列式中，非零项只有一项，即 ( 1) ( 1 2 1) 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n a a a a a a 同理，有 1 2 1 ( 1) 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 0 n n n n n n n a a a a a a (1.10) 这些结论在以后行列式的计算中可直接应用. 由行列式定义不难得出：一个行列式若有一行（或一列）中的元素皆为 零，则此行列式必为零. 知识点巩固： 例 5 计算行列式 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 D . 解： 一般项为 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) 1 2 3 4 ( 1) j j j j j j j j a a a a ，现考察不为零的项. 1 1 j a 取自第一 行，但只有 14 a 0 ，故只可能 1 j 4 ，同理可得 2 j 3， 3 j 2 ， 4 j 1 .即行 列式中不为零的项只有 4 (4321 ) ( 1) 1 2 3 4 24 ，所以 D 24 .(或直接利用 （1.10）的结果) 例 6 已知 23 31 42 ij 56 14 a a a a a a 是六阶行列式中的一项，求i, j ，并确定该项的符 号. （互动环节：提问学生，教师加以引导） 解： 由行列式的定义可知，行列式的每一项的元素均取自不同行、不 同列.所以有i 6, j 5 ，再将该项的行标按自然数的顺序排好，得 14 23 31 42 56 65 a a a a a a 列标的逆序数为 (431265) 1 2 2 1 6 为偶排列故此项符号为正号
000100201.:例7利用行列式的定义计算D。0n-200n-1000...0000n（互动环节：留思考时间，随后提问学生，教师加以引导给出答案)解：D, (-1)(--2)- .-42,-2*- am= (-1)(-Xx-2)-) 2 ..( - )/ n= (-)(-Xx-)) n!所以(n1Xn-2)D,=(-1)2n!教学流程课堂评测：习题1中：1.（1）3.（1）4.（1）7.（1)内容小结：（1）二阶与二阶行列式对角线法则：[a a2D==A,A22 1221[2122a2D=21 dn aa3=CQA+a2g+ag21g2A;Q221Q22A+A23A32ara23（2）排列与逆序定理1任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性也就是说，经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列定理2n个自然数（n>I)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半（3）n阶行列式的定义
教学流程 例 7 利用行列式的定义计算 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Dn n n n . （互动环节：留思考时间，随后提问学生，教师加以引导给出答 案） 解： (( 1)( 2) 1) 1, 1 2, 2 (( 1)( 2) 1) (( 1)( 2) 1) ( 1) ( 1) 1 2 ( 1) ( 1) ! n n n n n nn n n n n D a a a n n n 所以 ( 1)( 2) 2 ( 1) ! n n Dn n 课堂评测： 习题 1 中：1.（1）3.（1）4.（1）7.（1） 内容小结： （1）二阶与二阶行列式 对角线法则： 11 12 11 22 12 21 21 22 a a D a a a a a a 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a （2）排列与逆序 定理 1 任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性.也就是说，经过一 次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列. 定理 2 n个自然数 (n 1) 共有 n!个 n级排列，其中奇偶排列各占一半. （3） n阶行列式的定义
aua12a13Z(-1)(sh) aua2:sh=a21a22a23jjiis[a31a32a3教学流程-Z(-1)'apiap2*-ap."教学后记
教学流程 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 ( 1) j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 ( 1) n t p p p n a a a 教 学 后 记
章节（单元）教案要素行列式内容行列式的性质教学2章节名称81.2行列式的性质时数1.2.1n阶行列式的性质节时间年月日第单元内容1.2.2行列式的计算知识目标：理解行列式的性质，会利用行列式的性质计算n阶行列式。能力目标：通过行列式的性质的学习培养学生的数学逻辑思维能力；通过行列式的计算培养学生灵活应用数学知识解决问题的能教学目标力及计算能力。思政目标：通过不同类型行列式的计算，体现了基本形式的相互关系与转化过程，培养学生看待问题和解决问题时要抓住问题的实质的意识与能力。重点：行列式的性质。重点难点难点：利用行列式的性质计算行列式。教师课前充分备课，了解学情；学生需要具备初等数学知识和教学要求计算技能。教学方法课堂讲授、启发式教学、案例教学等授课方式线上线下混合式教学作业：习题—8.（2）（3）（4）9.（2）（3）10.11.12.练习13.14.15.作业思考：习题—（B）4.7.9.（2）（3)1.吴赣昌．线性代数．北京：中国人民大学出版社.20062.吴传生，经济数学线性代数（第二版）：北京：高等教育出参考版社.2009资料3.同济大学数学系．工程数学：线性代数（第六版）.北京：高等教育出版社，2014
章节（单元）教案 要 素 行列式 内 容 行列式的性质 章节名称 §1.2 行列式的性质 教学 时数 2 单元内容 1.2.1 n 阶行列式的性质 1.2.2 行列式的计算 时间 年 月 日 第 节 教学目标 知识目标:理解行列式的性质，会利用行列式的性质计算 n 阶行 列式。 能力目标:通过行列式的性质的学习培养学生的数学逻辑思维 能力；通过行列式的计算培养学生灵活应用数学知识解决问题的能 力及计算能力。 思政目标:通过不同类型行列式的计算，体现了基本形式的相互 关系与转化过程，培养学生看待问题和解决问题时要抓住问题的实 质的意识与能力。 重点难点 重点：行列式的性质。 难点：利用行列式的性质计算行列式。 教学要求 教师课前充分备课，了解学情；学生需要具备初等数学知识和 计算技能。 教学方法 课堂讲授、启发式教学、案例教学等 授课方式 线上线下混合式教学 练 习 作 业 作业：习题一 8.（2）（3）（4） 9.（2）（3） 10. 11. 12. 13. 14. 15. 思考: 习题一（B）4. 7. 9.（2）（3） 参 考 资 料 1.吴赣昌. 线性代数. 北京：中国人民大学出版社.2006 2.吴传生. 经济数学线性代数（第二版）. 北京: 高等教育出 版社.2009 3.同济大学数学系．工程数学：线性代数（第六版）.北京：高 等教育出版社．2014