新知讲解：一、二阶与二阶行列式一个二元一次方程组a+a2x=b(1.1)[a2a22x=b当ai2-2a210时，用消元法求解，得其解为b,a2 -azb,arb,-ba21(1.2)x=X=aia22-azb2iaia22=ai2b21记a1 42D==aQ22 - a221[a21a2[ba2=ba2-aizbD, =[b 2bJan(1.3)D, ==a,bz -ba21D[a21则[b412[a bb. a22a1 b.D.D2X=,=Da Daa12[a21 2[2 2]教学流程将D称为二阶行列式对于由9个元素α,(i,j=1,2,3)排成的式子，定义a2321Cn2C233=+2+2+g5123称为三阶行列式（互动环节：学生们讨论三阶行列式展开式的记忆方法，老师可以从对角线方向加以引导，也可以从项数、符号及每项的构成方向上加以引导）其规律遵循图1.1所示的对角线法则：
教学流程 新知讲解： 一、二阶与二阶行列式 一个二元一次方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b （1.1） 当 11 22 12 21 a a a a 0时，用消元法求解，得其解为 1 22 12 2 1 11 22 12 21 b a a b x a a a b ， 11 2 1 21 2 11 22 12 21 a b b a x a a a b （1.2） 记 11 12 11 22 12 21 21 22 a a D a a a a a a 1 12 1 1 22 12 2 2 22 b a D b a a b b a 11 1 2 11 2 1 21 21 2 a b D a b b a a b （1.3） 则 1 12 2 22 1 1 11 12 21 22 b a b a D x a a D a a , 11 1 21 2 2 2 11 12 21 22 a b a b D x a a D a a 将 D 称为二阶行列式. 对于由 9 个元素 ( , 1,2,3) ij a i j 排成的式子，定义 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 称为三阶行列式. （互动环节：学生们讨论三阶行列式展开式的记忆方法，老师可 以从对角线方向加以引导，也可以从项数、符号及每项的构成方向 上加以引导） 其规律遵循图 1.1 所示的对角线法则：
图 1.1如果三元线性方程组a+a2 +a =ba+ax2+a-=b,[a+a2+a=b的系数行列式a2sD=￥02ian21[a3132a用消元法求解这个方程组，可得ARD,(1.5)，=X=，X=DDD则[bQ2s[a b asaa2bD,=a2 a2 bbad2D, =ba2sD, =a21[ba2sb,as[asianb[as1教学流程[3233 4例1计算三阶行列式D=[4 -5 2解：按对角线法则，有D=3×(-3)×2+2×4×4+2×(-5)×3-3×(-3)×4-2×2×2-3×4×(-5)=-18-30+32+36+60-8=72知识点巩固：111例2求解方程12x=064x解：方程左端的三阶行列式
教学流程 图 1.1 如果三元线性方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a 用消元法求解这个方程组，可得 1 1 D x D ， 2 2 D x D ， 3 3 D x D （1.5） 则 1 12 13 1 2 22 23 3 32 33 b a a D b a a b a a ， 11 1 13 2 21 2 23 31 3 33 a b a D a b a a b a ， 11 12 1 3 21 22 2 31 32 3 a a b D a a b a a b 例 1 计算三阶行列式 3 2 3 2 3 4 4 5 2 D 解：按对角线法则，有 3 ( 3) 2 2 4 4 2 ( 5) 3 3 ( 3) 4 2 2 2 3 4 ( 5) 18 30 32 36 60 8 72 D 知识点巩固： 例 2 求解方程 2 1 1 1 1 2 0 6 4 x x 解 ：方程左端的三阶行列式
D=2x2+6x+4-12-x2-4x=x2 +2x-8于是得x2+2x-8=0解之，得x= 2,x=-4.二、排列与逆序定义1由正整数1,2..-n组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排列，记为(iizi）定义2在一个n级排列(i.i,i,i.)中，如果数i,>i，则称数i与i构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为t(iizi)设在一个n级排列(i.i,)中所有比i,(t=i,2,n)大的且排在i,前面的数共有1个，则i的逆序数的个数为1，而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数.即教学流程t(ii2i,)=t,+t +.., i=l知识点巩固：例3计算排列32514的逆序数解：因为3排在首位，故其逆序的个数为0；在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1；在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0：在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3；在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1易见所求排列的逆序数为t(32514)=0+1+0+3+1=5定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列定义4把一个排列.ii)中某两个数i、,的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列i.i,,i.），这样的变换称为一个对换，记为(i,i).将两个相邻元素对换，称为相邻对换，定理1任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性.也就是说，经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列证明：第一种情形，先看相邻对换的情况
教学流程 2 2 2 2 6 4 12 4 2 8 D x x x x x x 于是得 2 x 2x 8 0 解之，得 x 2, x 4 . 二、排列与逆序 定义 1 由正整数1, 2,n 组成的一个没有重复数字的 n元有序数组，称为一 个 n级排列，简称排列，记为 1 2 ( ) n i i i . 定义 2 在一个 n级排列 1 2 ( ) s t n i i i i i 中，如果数 s t i i ，则称数 si 与 t i 构成 一个逆序.一个 n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为 1 2 ( ) n i i i . 设在一个 n 级排列 1 2 ( ) n i i i 中所有比 ( ,2, ) ti t i n 大的且排在 t i 前面的 数共有 i t 个，则 t i 的逆序数的个数为 i t ，而该排列中所有自然数的逆序的个数 之和就是这个排列的逆序数.即 n i n n i i i i t t t t 1 1 2 1 2 ( ) 知识点巩固： 例 3 计算排列 32514 的逆序数 解 ： 因为 3 排在首位，故其逆序的个数为 0； 在 2 的前面比 2 大的数有 1 个，故其逆序的个数为 1； 在 5 的前面比 5 大的数有 0 个，故其逆序的个数为 0； 在 1 的前面比 1 大的数有 3 个，故其逆序的个数为 3； 在 4 的前面比 4 大的数有 1 个，故其逆序的个数为 1. 易见所求排列的逆序数为 (32514) 0 1 0 3 1 5 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列. 定义 4 把一个排列 1 2 ( ) s t n i i i i i 中某两个数 si 、 t i 的位置互换，而其余数 不动，得到另一个排列 1 2 ( ) t s n i i i i i ，这样的变换称为一个对换，记为 ( , ) s t i i . 将两个相邻元素对换，称为相邻对换. 定理 1 任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性.也就是说，经过一次对 换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列. 证明：第一种情形，先看相邻对换的情况
设排列为aa,abb.bm，对换a与b，变为a,a,bab..bm，显然，a.ai,bb这些元素的逆序数经过对换并不改变，a、b两元素的逆序数改变为：当a>b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变：当a<b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1所以，排列a,a,abb,b.与排列a,a,bab,.bm的奇偶性改变第二种情形，再看一般情况设排列为a.a,ab.b.bc..对它做m次相邻对换，变成a.a,abb.b.c.·..；再做m+1次相邻对换，变成a.a,bb...bmac.….c.总之，经2m+1次相邻对换，排列a.a,ab..b.bcc变成排列aabb..bmac.c.，所以这两个排列的奇偶性改变教学流程定理2n个自然数(n>1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半证明：n级排列的总数为n!个设其中奇排列为p个，偶排列为9个，若对每个奇排列都做同一对换，则由定理1，p个奇排列均变成偶排列，故p≤q.同理，对每个偶排列都做同一对换，则q个偶排列均变为奇排列，故q≤p，从而n!p=q=2三、n阶行列式的定义通过观察三阶行列式的展开式可得如下结论：(1)三阶行列式共有3！项；(2)每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积；(3)每项的符号取决于，当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号所以，三阶行列式可表示为Ja2a3(a2 a2 aa-Z(-1)(wb)aua2sshiJzjsa3ag2a33其中为对所有3级排列jij2j,求和Js定义5由n2个元素α,(i,j=1,2.n)排成n行、n列构成的记号：
教学流程 设排列为 1 l 1 m a a abb b ，对换 a 与 b ，变为 1 l 1 m a a bab b ，显然， 1 1 , l m a a b b 这些元素的逆序数经过对换并不改变， a 、b 两元素的逆序数 改变为： 当 a b 时，经对换后 a的逆序数增加 1 而b 的逆序数不变； 当 a b 时，经对换后 a的逆序数不变而b 的逆序数减少 1. 所以，排列 1 l 1 m a a abb b 与排列 1 l 1 m a a bab b 的奇偶性改变. 第二种情形，再看一般情况. 设排列为 1 l 1 m 1 n a a ab b bc c ， 对它做 m 次相邻对换，变成 1 l 1 m 1 n a a abb b c c ；再做 m 1次相邻对 换 ， 变 成 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c . 总 之 ， 经 2m 1 次 相 邻 对 换 ， 排 列 1 l 1 m 1 n a a ab b bc c 变成排列 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c ，所以这两个排列的奇偶 性改变. 定理 2 n个自然数 (n 1) 共有 n!个 n级排列，其中奇偶排列各占一半. 证明： n级排列的总数为 n!个. 设其中奇排列为 p 个，偶排列为 q 个，若对每个奇排列都做同一对换，则由 定理 1， p 个奇排列均变成偶排列，故 p q .同理，对每个偶排列都做同一对 换，则 q 个偶排列均变为奇排列，故 q p ，从而 ! 2 n p q . 三、 n阶行列式的定义 通过观察三阶行列式的展开式可得如下结论： （1） 三阶行列式共有3!项； （2） 每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积； （3） 每项的符号取决于，当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如 果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号. 所以，三阶行列式可表示为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 ( 1) j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a 其中 1 2 3 j j j 为对所有 3 级排列 1 2 3 j j j 求和. 定义 5 由 2 n 个元素 ( , 1,2 ) ij a i j n 排成 n行、 n列构成的记号：
ana2...aina21a22Z(-1)aa2am:anan2a.(1.6)称为n阶行列式，其中表示对所有n阶排列jijj,求和，行列式有时hhij也简记为det(a,）或a，这里a,称为行列式的元素n阶行列式的定义具有以下规律：（互动环节：学生们讨论n阶行列式展开式的特点，老师可以从项数、符号及每项的构成方向上加以引导）（1）行列式由n!项求和而成：（2）每项是取自不同行、不同列的n个元素乘积，每项各元素行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式：(-1y(b-)a2“-m.（3）若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中(-1)(h）是指项的符号，且列序构成n级排列(jijzj.)，若此排列为奇排列则此项取负号，教学流程若此排列为偶排列则此项取正号，所以行列式项的符号一半为正，一半为负（思政内容：强调行列式的书写格式，利用行列式的规范性引入德育元素：诚信，严谨，科学。让学生体会科学的方法论中严谨，实事求是的重要性，从而达到培养科学思维方式的目的。）定理3n阶行列式也可定义为D=E(-1)apiap2*apn(1.7)其中，t为行标排列piPz"p,的逆序数证明：按行列式定义有D=E(-1)'aipa2p"amp。"记D -Z(-1)agiap2*-apn由上面讨论知：对于D中任一项(-1)αm2pam，总有且仅有D中某一项(-1)agig2"4与之对应并相等：反之，对于D中的任一项
教学流程 n n n j j j j j nj j j j n n nn n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) （1.6） 称为 n阶行列式，其中 1 2 n j j j 表示对所有 n 阶排列 1 2 n j j j 求和，行列式有时 也简记为 det( ) ij a 或 ij a ，这里 ij a 称为行列式的元素. n阶行列式的定义具有以下规律： （互动环节：学生们讨论 n 阶行列式展开式的特点，老师可以 从项数、符号及每项的构成方向上加以引导） （1）行列式由 n!项求和而成； （2）每项是取自不同行、不同列的 n个元素乘积，每项各元素行标按自 然数顺序排列后就是行列式的一般项形式： 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n j j j j j nj a a a （3）若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中 1 2 ( ) ( 1) n j j j 是指 项的符号，且列序构成 n级排列 1 2 ( ) n j j j ，若此排列为奇排列则此项取负号， 若此排列为偶排列则此项取正号，所以行列式项的符号一半为正，一半为负. （思政内容：强调行列式的书写格式，利用行列式的规范性引 入德育元素：诚信，严谨，科学。让学生体会科学的方法论中严谨， 实事求是的重要性，从而达到培养科学思维方式的目的。） 定理 3 n阶行列式也可定义为 1 2 1 2 ( 1) n t D p p p n a a a ， (1.7) 其中，t 为行标排列 1 2 n p p p 的逆序数. 证明 ： 按行列式定义有 1 2 1 2 ( 1) n t D p p np a a a ， 记 1 2 1 1 2 ( 1) n t D p p p n a a a 由上面讨论知：对于 D 中任一项 1 2 1 2 ( 1) n t p p np a a a ，总有且仅有 D1中某一项 1 2 1 2 ( 1) n s q q q n a a a 与 之 对 应 并 相 等 ； 反 之 ， 对 于 D1 中 的 任 一 项