例4验证：函数x=C,cos kt+C2sint是微分 方程+2x=0的解。并求满足初始条件 =0的特解 dt t=0 d 涵 解 =-kC sin kt+kC2 cos kt, =-k'C:coskt-k'C2sin kt, 所以 dr =-k2C coskt-k'C,sinkt+(C coskt+C2 sin kt)
例 4 验证:函数 x C coskt C sinkt = 1 + 2 是微分 方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解. 解 sin cos , 1 2 kC kt kC kt dt dx = − + cos sin , 2 2 1 2 2 2 k C kt k C kt dt d x = − − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 cos sin ( cos sin ) d x k x dt k C kt k C kt k C kt C kt + = − − + + 所以
=-k2(C coskt+C2 sinkt)+k2(C coskt+C2 sinkt) 三0. 故x=C,cost+C,sinkt是原方程的解. =A, =0,.C1=A,C2=0 t0 潮 所求特解为x=Acos kt #
2 2 1 2 1 2 ( cos sin ) ( cos sin ) 0. = − + + + k C kt C kt k C kt C kt cos sin . 故 x = C1 kt + C2 kt是原方程的解 , 0, 0 0 = = = = t t dt dx x A , 0. C1 = A C2 = 所求特解为 x = Acoskt. #