参数估十 无论总体X的分布函数F(x:日，日2，.，O)的类型已知或未知，我 们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参 数估计就是从样本(X,X2,.,Xn)出发，构造一些统计量O(X,X,., Xn)(二1,2，.，k)去估计总体X中的某些参数（或数字特征）日，(=1， 2,.,k)这样的统计量称为估计量 1.点估计：构造(X,X,.,Xn)的函数O(X,X2,.,Xn) 作为参数日，的点估计量，称统计量O,为总体X参数0，的点估计量 2.区间估计：构造两个函数0(X,X,.,Xm)和02(X1,X2,., Xn),把(0,02)作为参数0，的区间估计
无论总体 X 的分布函数 F（x； k , , , 1 2 ）的类型已知或未知，我 们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参 数估计就是从样本（X1，X2，.，Xn）出发，构造一些统计量 ( ˆ i X1，X2，.， Xn）（i=1，2，.，k）去估计总体 X 中的某些参数（或数字特征） i（i=1， 2，.，k）.这样的统计量称为估计量. 1. 点估计：构造（X1，X2，.，Xn）的函数 ( ˆ i X1，X2，.，Xn） 作为参数 i 的点估计量，称统计量 i ˆ 为总体 X 参数 i 的点估计量. 2. 区间估计：构造两个函数 ( i1 X1，X2，.，Xn）和 ( i2 X1，X2，.， Xn），把（ 1 2 , i i ）作为参数 i 的区间估计
一、点估计的求法 (一)矩估计法 假设总体分布中共含有k个参数，他们往往是一些原 点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩， 方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等因此，要想估计 总体的某些参数日，(=1,2，.，k),由于k个参数一定可以 表为不超过k阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的 阶原点矩去估计总体的r阶原点矩，用样本的一些原点 矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将k个 参数反解出来，从而求出各个参数的估计值这就是矩估计法， 它是最简单的一种参数估计法
一、点估计的求法 (一）矩估计法 假设总体分布中共含有 k 个参数，他们往往是一些原 点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩， 方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等.因此，要想估计 总体的某些参数 i （i=1，2，.，k），由于 k 个参数一定可以 表为不超过 k 阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的 r 阶原点矩去估计总体的 r 阶原点矩，用样本的一些原点 矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将 k 个 参数反解出来，从而求出各个参数的估计值.这就是矩估计法， 它是最简单的一种参数估计法
(二)极大似然估计法 极大似然法的想法是：若抽样的结果得到样本观测值x1,x2,·x,则我们应当选取参数日，的 值，使这组样本观测值出现的可能性最大，即构造似然函数： L(O,02,.,0)=P(X1=x1,X2=x2,.,Xm=xn)=P(X1=x1)P(X2=x2).P(Xm=xn) =p(x,8,8)p(,8,.,a)px8a.)=Πp(x,a,.a) 使L(日，O)达到最大，从而得到参数0，的估计值0，.此估计值称为极大似然估计值.函数 L(0,.,0)称为似然函数 求极大似然估计值的问题，就是求似然函数L(日1，O)的最大值问题，则 aL a0, =0i=1,2.,k 即 nl=0i=l,2,.,k a0
(二）极大似然估计法 极大似然法的想法是: 若抽样的结果得到样本观测值 x1,x2,.,xn, 则我们应当选取参数 i 的 值 , 使 这 组 样 本 观 测 值 出 现 的 可 能 性 最 大 . 即 构 造 似 然 函 数 ： ( , , , ) ( , , , ) ( ) ( ) ( ) 1 2 k 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n L = P X = x X = x X = x = P X = x P X = x P X = x 1 1 2 1 1 1 1 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n k k n k i k i p x p x p x p x = = = 使 ( , , ) L 1 k 达到最大，从而得到参数 i 的估计值 i ˆ .此估计值称为极大似然估计值.函 数 ( , , ) L 1 k 称为似然函数. 求极大似然估计值的问题，就是求似然函数 ( , , ) L 1 k 的最大值问题，则 = 0 i L i = 1,2, , k 即 ln 0 i L = i = 1,2, , k
二、区间估计的求法 设总体X的分布中含有未知参数0，若对于给定的概率1一0 （0<0<1),存在两个统计量0(X1,X2,.,Xn)和0，(X1,X2, X),使得 P(01<0<02)=1-a 则称随机区间（日，02）为参数0的置信水平为1-x的置信区间，0，称为 置信下限，0，称为置信上限
设总体 X 的分布中含有未知参数 ，若对于给定的概率 1− （0 1），存在两个统计量 ( ˆ 1 X1，X2，.，Xn）和 ( ˆ 2 X1，X2，.， Xn）,使得 P( ˆ 1 ˆ 2 ) = 1− 则称随机区间( ) ˆ , ˆ 1 2 为参数 的置信水平为1− 的置信区间, 1 ˆ 称 为 置信下限, 2 ˆ 称为置信上限. 二、区间估计的求法
(一)数学期望的置信区间 1.已知DX,求EX的置信区间 设样本(X1,X,.,Xn)来自正态母体X,己知方差DX=o2, 在凰行水生1n的区-“生行+”司 /n 2.未知方差DX,求EX的置信区间 在置台水子a下务后区园为机X-{华行'号高 V n (二)方差的区间估计 Dx在置信水平1-a下的置信区间为-1)s,a-1s二 返回
设样本（X1，X2，.，Xn）来自正态母体 X，已知方差 2 DX = s ， EX 在置信水平 1- 下的置信区间为[ , ] 2 1 2 1 n X u n X u s s − − − + . 1．已知DX，求EX的置信区间 2． 未知方差DX，求EX的置信区间 EX 在置信水平 1- 下的置信区间为[ , ] 2 1 2 1 n s X t n s X t − − − + . (一)数学期望的置信区间 （二）方差的区间估计 DX 在置信水平 1- 下的置信区间为 ] ( 1) , ( 1) [ 2 2 2 2 2 1 2 n − s n − s − . 返回