福州大学：《离散数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 二元关系

笛卡尔积有以下的性质： ①设A为任意的集合，则AX⑦=⑦XA=O ②一般地说，×不满足交换律： AXB≠BXA。 超 在【例7.2】中，AXB≠BXA ③一般地说，×不满足结合律： 秤- 即(AXB)XC≠AX(BXC)

笛卡尔积有以下的性质： ①设A为任意的集合，则A× = ×A=  ②一般地说，×不满足交换律： A×B≠B×A。 在【例7.2】中，A×B≠B×A ③一般地说，×不满足结合律： 即(A×B)×C≠A×(B×C)

【例73】设412，Ba6,Aw菜 AXBXC,AX(BXC). 解：AXBXC=(AXB)XC =<1,心，<1，b>,<2,>,<2,b>Xxy =<1,心，>，<1，b>,<2,>,<2,b>, <1,>,J>,<1,b>,J>,<2,>Jy>,<2,b>y>} AX(BXC=1,2}X<m,>,<,y>,<b,x>,<by>t =<1,<a,>,<1,<a,Jy>,<1,<b,x>,<1,<b,J> 和调 <2,<M,>>,<2,<a,Jy>,<2,<b,x>>,<2,<b,Jy>>7 显然4XBXC≠AX(BXC)

解： A×B×C=(A×B)×C =1,a,1,b,2,a,2,b×x,y =1,a, x,1,b, x,2,a,x, 2,b,x, 1,a, y,1,b, y,2,a,y, 2,b,y  A×(B×C)=1,2×a,x,a, y,b,x,b, y =1,a,x,1,a, y,1,b,x,1,b, y 2,a,x,2,a, y,2,b,x,2,b, y 显然A×B×C≠A×(B×C)。 【例7.3】设A=1,2，B=a,b，A=x,y，求： A×B×C，A×(B×C)

④X对并和交满足分配律 (1)AX(BUC)=(AXB)U(AXC) (2)AX(B∩C=(AXB)∩(AXC (3)(AUB)XC=(AXCU(BXC) (4)(A∩B)XC=(AXC∩(BXC)

④ ×对并和交满足分配律 ⑴ A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C) ⑵ A×(B∩C) =(A×B)∩(A×C) ⑶ (A∪B)×C =(A×C)∪(B×C) ⑷ (A∩B)×C =(A×C)∩(B×C)

(1)AX(BUC)=(AXB)U(AXC) 证明：仅证明(1)任取<，b> <a,b>∈AX(BUC) 台M∈A∧b∈BUC →M∈A∧(b∈BVb∈C) →(a∈A∧b∈B)V(a∈A∧b∈C) 超 →<M,b>∈AXBV<,b>∈AXC 酸 →<，b>∈(AXB)U(AXC) 是 故 AX(BUC)=(AXB)U(AXC) 可类似地证明2)、(3)、（④）

证明：仅证明⑴ 任取a,b a,bA×(B∪C) aA∧bB∪C  aA∧( bB∨bC) (aA∧bB)∨(aA∧bC) a,bA×B∨a,bA×C a,b(A×B)∪(A×C) 故 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) 可类似地证明⑵、⑶、⑷。 ⑴ A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C)

⑤设A,B,C,D是非空集合，则 AXBCCXD的充分必要条件是ACC且BCD。 证明：“→”设4XBECXD,任取a∈A个bEB M∈A∧b∈B→<a,b>∈AXB →<，b>∈CXD →M∈C∧b∈D所以ACC且BcD 超 冬” 设AcC且BCD,任取<，b>∈AXB <a,b>∈AXB→>M∈A∧b∈B →M∈C∧b∈D →<M,b>∈CXD所以AXBCCXD 凝

⑤设A，B，C，D是非空集合，则 A×BC×D的充分必要条件是AC且BD。 证明：“” 设A×BC×D，任取aA∧bB aA∧bBa,bA×B a,bC×D aC∧bD 所以 AC且BD “ ” 设AC且BD，任取a,bA×B a,bA×BaA∧bB aC∧bD a,bC×D 所以 A×BC×D 