3）取极限对上面和式取极限，极限值就是力在「α,b]上作的功从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如：Zf(5,JAx;i=1的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义（下页）11
11 3）取极限 对上面和式取极限，极限值就是力在 上作的功。 从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变 力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、 取极限”，或者说都归结为形如： 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来， 作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可 以给定积分下一个定义（下页） [a,b]
定义 设f(x)是定义在区间［α,b]上的一个函数，在闭区间[a，bl上任取n-1个分点.X.=把「a,b］分成n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T表示，分割的细度用 T = max(△x,)表示，在分割T所属的各个小区间内各取一点E[x-1，x;］称为介点，2ZJ()Ax：以后简记为Z,(T)作和式：i112
12 定义 设 是定义在区间 上的一个函数，在闭区间 上任取n-1个分点 把 [a,b] 分成 n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的 一个分割，用T表示, 分割的细度用 表示， 在分割T所属的各个小区间内各取一点 称为介点， 作和式: 以后简记为 [a,b] [a,b] f (x)
此和式称为f(x）在［α,b]上属于分割T的积分和（或黎邑和设J是一个确定的数，若对任意总存在某个>0，使得[T<8，属于分割T的所有积分上的任何分割T，只要它的细度和 Z(T)都有IZ(T)-J<E则称 f(x)在[a,b]上可积,称J为函数 f(x)在[a,b]1[ f(x)dx上的定积分（或黎曼积分），记作其中 f(x)称为积分函数,x为积分变量，[a,bl称为积分区间，α、b分别称为积分的下、上限。13
13 此和式称为 在 上属于分割T的积分和（或黎曼和， 设 是一个确定的数，若对任意总存在某个 ，使得 上的任何分割T，只要它的细度 ，属于分割T的所有积分 和 都有 则称 在 上可积 ,称J为函数 在 上的定积分(或黎曼积分)，记作 称为积分的下、上限。 其中 f (x) 称为积分函数，x为积分变量， [a, b] 称为积分区间， a、b分别 f (x) [a,b] n J T f (x) [a,b] f (x) [a,b]
利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为2S=Jf(x)dx2变力作功问题可表示为W=[F(x)dx2dx例用定义求积分1+ x2n17dxZlirn解分法与介点集选法如例1，有+xMr-n1+272nZlirm三2M→+i73i-114
14 利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为: 变力作功问题可表示为 例 用定义求积分 解 分法与介点集选法如例1 , 有