∑x2+y2+z2=a2 ∑:x 2 2 2 将曲面Σ向y0z面投影,得 Dz:y2+z≤a,y≥0 J J a-y a 2 2 ds=1+xx(x, y)+x2(x, y) dydz n2-p2-,2ht
(2) ： 2 2 2 2 x + y + z = a 在第一卦限和第八卦限部分. 将曲面向 yoz面投影，得 : . 2 2 2 x = a − y − z : , 0. 2 2 2 Dyz y + z a y , 2 2 2 a y z y xy − − − = . 2 2 2 a y z z xz − − − = x y z o a a a dS x x y x x y dydz y z 1 ( , ) ( , ) 2 2 = + + . 2 2 2 dydz a y z a − − =
IS=V1+xf(x,y)+x2(x,y) dydz dydz 2 ∫( x+y +z)ds =(a2-y2-2+y2+z2) dydz 2 dydz 2 2 a -y-2 元 6 元 0<r≤a
(x y z ) dS 2 2 2 + + dydz a y z a a y z y z Dyz 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (( ) ) − − = − − + + dydz a y z a Dyz 1 2 2 2 3 − − = dS x x y x x y dydz y z 1 ( , ) ( , ) 2 2 = + + . 2 2 2 dydz a y z a − − = x y z o a a a − 0 . , : 2 2 r a Dyz
元 <b≤ 元 2 0<r<a ∫/x2+y2+z2)S ∑ 3 dydz 2 2 y=rose, V4 Z=rSIn a3/n/2 de 丌/2
x y z o a a a − 0 . , : 2 2 r a Dyz = = sin . cos , z r y r (x y z ) dS 2 2 2 + + dydz a y z a Dyz 1 2 2 2 3 − − = r dr a r a d a 1 0 2 2 2 2 3 − = − . 4 = a
例4 cyz ds ∑ x=0,y=0, 乙=0,x+y+z=1的 解Σ=∑1+∑2+Σ3+Σ4 ∑ 手zdS= xyz ds+』xzas+ ∑ ∑ + xyz ds+xyz ds ∑1:x=0 f(x, y, z)=xyz=0, ∑2:y=0.f(x,y,z)=习z=0
例 4 解 计 算 xyz d S , 其 中 是由平 面x = 0, y = 0, z = 0, 及 x + y + z = 1 所围 成的四面体的整 个边 界曲 面. . = 1 + 2 + 3 + 4 x y zo 1 1 1 1 2 3 4 : 0. 1 x = f (x, y,z) = xyz = 0, : 0. 2 y = f (x, y,z) = xyz = 0, xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS 3 4 1 2 + + = + +
手xzdS= xyz ds+yzdS+ ∑ +xyz dS+ xyz ds ∑ b ∑1:x=0.f(x,y,z)=xz=0, ∑2:y=0.f(x,y,x)=z=0,x 23: Z=0. f(x, y, ) =xy=0, 手 xyz ds= xyz ds+ xyz ds+∫ xyz ds+』 xyz ds ∑ ∑ ∑ ∑ xyz ds
: 0. 1 x = xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS 3 4 1 2 + + = + + f (x, y,z) = xyz = 0, : 0. 2 y = f (x, y,z) = xyz = 0, : 0. 3 z = f (x, y,z) = xyz = 0, xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS 1 2 3 4 = + + + xyz dS 4 = 3 1 2 x y z o 1 1 1 4