xyz ds=xyz ds +xyz ds+xyz ds+xyz ds ∑ =』xzas ∑ ∑ ∑ 4 z=1-x 将曲面∑4向xoy面投影,得 J 1∑ 0<x<1 3 0≤y≤1-x S=√1+2(x,y)+2(x,)=3h
: 1 . 4 z = − x − y xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS xyz dS 1 2 3 4 = + + + xyz dS 4 = 将曲面4向 xoy面投影，得 − 0 1 . 0 1, : y x x Dxy= −1, x z = −1. y z dS z x y z x y dxdy x y 1 ( , ) ( , ) 2 2 = + + = 3 dxdy. 3 1 2 x y z o 1 1 1 4
x Jy S=+2(x,y)+x2(x,y)d=3a 手xzdS=∫zds ∑ ∑ xy(1-x-y)√3dxd ∑ D XY √3 心/切(1-x-y)dy x 3 120
xyz dS xyz dS 4 = xy x y dxdy DXY (1 ) 3 = − − dx xy x y dy x 3 (1 ) 1 0 1 0 − = − − . 120 3 = = −1, x z = −1. y z dS z x y z x y dxdy x y 1 ( , ) ( , ) 2 2 = + + = 3 dxdy. 3 1 2 x y z o 1 1 1 4
例5计算∫(x+y+x)ds,其忸为平面 y+z=5被柱面x2+y2=25所截得的部分 解积分曲面 Σ:z=5-y 投影域: D {(x,y)x2+y2≤25}
计算 (x + y + z)ds, 其中 为平面 y + z = 5被柱面 25 2 2 x + y = 所截得的部分. 例 5 积分曲面 ：z = 5 − y , 解 投影域 ： {( , ) | 25} 2 2 Dxy = x y x + y
dS=1+x+zy dxdy +0+(-1)2ay=√2ty 故∫(x+y+z) =2/x+y+5-y)=2∫(5+x)dh (5+ rcos A)rdr=125√2兀
故 (x + y + z)ds = + + − Dxy 2 (x y 5 y)dxdy = + Dxy 2 (5 x)dxdy d r rdr = + 5 0 2 0 2 (5 cos ) = 125 2. dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + dxdy 2 = 1+ 0 + (−1) = 2dxdy
例6计算「xyz|S, ∑ 其中Σ为抛物面z=x2+y2(0≤z≤1) 解依对称性知: 抛物面z=x2+y2 关于z轴对称, 被积函数xyz|关于 0.5 xOz、yOz坐标面对称 0.5 有=4成立,(21为第一卦限部分曲面)
例 6 计算 xyz dS | | , 其中 为抛物面 2 2 z = x + y （0 z 1）. 解 依对称性知： 被积函数| xyz |关于 xoz、 yoz 坐标面对称 关于 轴对称， 抛物面 z z x y 2 2 = + 有 = 1 4 成立，(1为第一卦限部分曲面) x y z