习题62 3.设p>0,b>0,p,q均为正整数且q≥2.给定方程组 dt=1-kr-ry, dt=b(r'y'-y) 作变量变换,使其定常解(x(,y(4)=(,0)对应于新方程组的零解并讨论其稳定性 解:作变 1,=y,则原方程组变成为 d=m-(u+1yP3,=Ma+2-) 性部分的系数矩阵为 u 0 它的两个特征根-,-1均为负实数,因此由定理22知原方程组的驻定解(x(1,y()≡(,0)渐近稳 4.考虑下列两个方程组 (A+B())r, dr ar 其中A为常数值矩阵,B(t)为t≥0上的连续矩阵值函数,且满足条件 B(t)dt<∞, 用定理22的证明方法证明若(2)的所有解当t≥0时有界,则(1)的所有解当t≥0时也有界 证明:首先因为(1)和(2)都是线性方程组且右边的系数矩阵连续,因此它们的所有解的最大存在 区间均为t∈(-∞,+∞) 现在设Φ(t)是方程组(2)的满足φ(0)=E的基本解矩阵。由常数变易公式,(1)满足初值条 件r(0)=x0的解为 r(t)=d(t) ro+/(t-T)B()x(r)dr 由假设,存在常数K>0,使得当t≥0时 (D)≤K, 因此由(3)知当t≥0时, r()lsKIzol+K/B()z()ldr 再由 Gronwall不等式得:当t≥0时, (O)< Klrolexp(K/IB()ldr)
1 习 题 6.2 3. 设 µ > 0, b > 0, p, q 均为正整数且 q ≥ 2. 给定方程组 dx dt = 1 − µx − x p y q , dy dt = b(x p y q − y), 作变量变换, 使其定常解 (x(t), y(t)) ≡ ( 1 µ , 0) 对应于新方程组的零解并讨论其稳定性. 解: 作变换u = x − 1 µ , v = y，则原方程组变成为 du dt = −µu − (u + 1 µ ) p v q , dv dt = b((u + 1 µ ) p v q − v), 其线性部分的系数矩阵为： A = −µ 0 0 −1 它的两个特征根−µ, −1均为负实数，因此由定理2.2知原方程组的驻定解(x(t), y(t)) ≡ ( 1 µ , 0)渐近稳 定。 4. 考虑下列两个方程组 dx dt = (A + B(t))x, (1) dx dt = Ax, (2) 其中 A 为常数值矩阵, B(t) 为 t ≥ 0 上的连续矩阵值函数, 且满足条件 Z +∞ 0 |B(t)|dt < ∞, 用定理 2.2 的证明方法证明若 (2) 的所有解当 t ≥ 0 时有界, 则 (1) 的所有解当 t ≥ 0 时也有界. 证明: 首先因为(1)和(2)都是线性方程组且右边的系数矩阵连续, 因此它们的所有解的最大存在 区间均为t ∈ (−∞, +∞). 现在设Φ(t)是方程组(2) 的满足Φ(0) = E的基本解矩阵。由常数变易公式，(1)满足初值条 件x(0) = x0的解为： x(t) = Φ(t)x0 + Z t 0 Φ(t − τ )B(τ )x(τ )dτ. (3) 由假设，存在常数K > 0，使得当t ≥ 0时， |Φ(t)| ≤ K, 因此由(3)知当t ≥ 0时， |x(t)| ≤ K|x0| + K Z t 0 |B(τ )||x(τ )|dτ. 再由Gronwall不等式得：当t ≥ 0时， |x(t)| ≤ K|x0| exp(K Z t 0 |B(τ )|dτ )
由假设 ()ldt=K<∞, 因此当t≥0时, )≤ Klrolexp(K/1B()ld)=kloe<∞ 即(1)的所有解当t≥0时也有界 6.设a,B,7,6,∈都是正数,x≥0,y≥0,求出方程组 dkr dt--az+Bx2-nry, =-oy +ery 的所有定常解并讨论其稳定性 解:求解代数方程组 - ar+Br -yry=0, -dy +ery=0 得原方程组有三个驻定解: r:(x(1,y()≡(0,0),I:(x(,y(t)≡(,0) II:(x(t),y(t)≡(=, 对驻定解I,其线性部分的系数矩阵为 -a0 它的两个特征根-α,-6均为负实数,因此渐近稳定 对驻定解Ⅰ,其线性部分的系数矩阵为 g 0-6+ 它至少有一个正特征根α,因此不稳定。 对驻定解ⅠⅠ,其线性部分的系数矩阵为 46(6-ae) 当△<0时,它的特征根为一对共轭复数 当△=0时,它的特征根为实重根;当△>0时,它的特征根为相异实根 在这三种情况下它至少有一个特征根有正实部,因此不稳定
2 由假设， Z +∞ 0 |B(t)|dt = K <˜ ∞, 因此当t ≥ 0时， |x(t)| ≤ K|x0| exp(K Z +∞ 0 |B(t)|dt) = K|x0|e KK˜ < ∞. 即(1)的所有解当t ≥ 0时也有界. 6. 设 α, β, γ, δ, ² 都是正数, x ≥ 0, y ≥ 0, 求出方程组 dx dt = −αx + βx2 − γxy, dy dt = −δy + ²xy 的所有定常解并讨论其稳定性. 解: 求解代数方程组 −αx + βx2 − γxy = 0, −δy + ²xy = 0 得原方程组有三个驻定解： I : (x(t), y(t)) ≡ (0, 0), II : (x(t), y(t)) ≡ ( α β , 0), III : (x(t), y(t)) ≡ ( δ ² , βδ γ² − α γ ). 对驻定解I, 其线性部分的系数矩阵为： −α 0 0 −δ 它的两个特征根−α, −δ均为负实数，因此渐近稳定。 对驻定解II, 其线性部分的系数矩阵为： α − αγ β 0 −δ + α² β 它至少有一个正特征根α，因此不稳定。 对驻定解III, 其线性部分的系数矩阵为： βδ ² − γδ ² βδ−α² γ 0 令 ∆ = (βδ ² ) 2 − 4δ(βδ − α²) ² . 当∆ < 0时，它的特征根为一对共轭复数 λ1,2 = βδ 2² ± 1 2 √ −∆i; 当∆ = 0时，它的特征根为实重根βδ 2² ; 当∆ > 0时，它的特征根为相异实根 λ1,2 = βδ 2² ± 1 2 √ ∆. 在这三种情况下它至少有一个特征根有正实部，因此不稳定
习题63 7.设a,B,7,6都是正数,B-a6<0,函数∫(y)连续可微,f()=0且当y≠0时有yf(y)>0.利用 形如 B 的 Liapunov函数讨论方程组 dt --ar+Bf(v), dy =yr-of(y) 的零解的稳定性 Lyapunov函数 它是定正的,其全导数为 dt=2a(-az+Bf())+Bf(y)(2r-8f(y) - ona+2Byrf()-B8((y)) 由于其判别式△=422-4a6=4B(7-a6)<0,因此出为定负函数,由定理3知原方程的 零解渐近稳定
3 习 题 6.3 7. 设 α, β, γ, δ 都是正数, βγ − αδ < 0, 函数 f(y) 连续可微, f(0) = 0 且当 y 6= 0 时有 yf(y) > 0. 利用 形如 V = 1 2 Ax2 + B Z y 0 f(u)du 的 Liapunov 函数讨论方程组 dx dt = −αx + βf(y), dy dt = γx − δf(y) 的零解的稳定性. 解: 构造Lyapunov函数 V (x, y) = 1 2 γx 2 + β Z y 0 f(u)du 它是定正的，其全导数为 dV dt = γx(−αx + βf(y)) + βf(y)(γx − δf(y)) = −αγx 2 + 2βγxf(y) − βδ(f(y))2 . 由于其判别式∆ = 4β 2 γ 2 − 4βγαδ = 4βγ(βγ − αδ) < 0, 因此dV dt 为定负函数, 由定理3.1知原方程的 零解渐近稳定