1.若曲面∑:z=z(x,y);则 ∫f(x,y,z)S=』/ x,y,(x,y)1+zx +ay dxdy, ∑ 5案甲E:=1(x-)则 ∫∫(x,,z)S=∫/ x,y(x,x),z√+y2 +yz dxdz; ∑ XZ 3.若曲面∑:x=x(y,z)则 ∫(x,)s=x(y),/+x2+x2h ∑ 注意:这里曲面方程均是单值函数
( , , ) [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z d S f x y z x y z z dxdy Dx y x y = + + 1. 若曲面 : z = z(x, y); 则 [ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dx z x z = + + f (x, y,z)dS 2. 若曲面 : y = y(x,z), 则 [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z = + + f (x, y,z)dS 3. 若曲面 ： x = x( y,z) 则 注意：这里曲面方程均是单值函数
例1计算职6 其中∑为平面r=0,=0,r+y+?=1所目成 的四面体的整个边界曲面 解〗在平面r:,=,x++:1z 上的部分依次记为E,E:E3,E 由于在E1,E2,:,E上 被积函数∫(x,,引)=巩≡0, 所以
例 1 计 算 xyz dS , 其 中 为平面 x = 0 , y = 0 , x + y + z = 1 所围成 的四面体的整个边界曲面 . 解 x y z o 1 1 1 = + + + 1 2 3 4 在平面 x = 0 , y = 0 , x + y + z = 1 上的部分依次记为 1 2 3 4 , , , . 由于在 1 2 3 4 , , , 上 ， 被积函数 f ( x , y , z ) = xyz 0 , 0 . 1 2 3 = = = 所 以 xyzdS
在∑4上,z=1-x-y, ds=1+zx+zy dxdy 1+(-13+(-12 dxdy=3th, 原式 xyz ds xy√3(1-x-y)dy 其中D={(x,){x+ys1,x≥
dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + 1 ( 1) ( 1) 3 , 2 2 = + − + − dxdy = dxdy xyz dS = 4 原式 xy x y dxdy Dx y = 3(1− − ) 其 中 D = {( x , y ) | x + y 1 x y , x 0 , y 0 } 1 , 4 在 上，z = − x − y
手yzS=3「xa-x-p 0 6 √3 120
− = − − x xdx x y dy 1 0 1 0 3 (1 ) dx x x 3 1 0 6 (1 ) 3 − = . 120 3 = xyzdS
例2 ds x+z =a ∑ z=h(0<h<a) 解∑:z=√a2-x2 将曲面Σ向xoy面投影,得 x2+y2≤a-2-h x a -x-y 2 2
例 2 解 计 算 z dS , 其 中 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 被平面 z = h (0 h a) 截出的顶部. h x y zo a a a 将曲面 向 xoy面投影，得 : . 2 2 2 z = a − x − y : . 2 2 2 2 Dxy x + y a − h , 2 2 2 a x y x z x − − − = . 2 2 2 a x y y z y − − − =