2对面积的曲面积分的性质 1)』0(x,,x)ds=k』(x,x)aS; (2)If(x,y, z)+g(x, y, z)]ds ∫f(x,y,z)S+』g(x,y,z)s (3)若Σ可分为分片光滑的曲面∑及∑2,则 ∫f(x,y,z)s=」f(x,y,x)S+』g(x,y,x)dS 特别,当f(x,y,x)≡1时,∫=的面积
2.对面积的曲面积分的性质 (3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则 (1) ( , , ) ( , , ) ; kf x y z dS = k f x y z dS (2) [ f (x, y,z) + g(x, y,z)]dS ( , , ) ( , , ) ; = f x y z dS + g x y z dS ( , , ) ( , , ) ( , , ) . 1 2 f x y z dS = f x y z dS + g x y z dS 特别， = 的面积。 当 f (x, y,z) 1时， dS
、计算法 Σ:z=(x,y) 1.若曲面∑:z=z(x,y); 5,7;5) AS≈√1+2(5,m)+2(5,m)(0),/。 ,m) (△G;) ∫f(x,y,z)S=lm∑f(5,mn,5;)△S im∑m5;,n,x(5,n)1+x2(5,m)+x15,mn)(△a) 2→)0 ∫1x,y,(x,y)
三、计算法 1. 若曲面 : z = z(x, y); 1 ( , ) ( , ) ( ) , 2 2 i x i i y i i i xy S + z + z i xy ( ) ( , ) i i Si x y z : z = z(x, y) o ( , , ) i i i 则 f (x, y,z)dS i i i n i = f i S → = lim ( , , ) 1 0 → = = + + n i i i i i x i i y i i i xy f z z z 1 2 2 0 lim [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) ( ) [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dx y x y = + +
若曲面Σ:z=z(x,y);则 f(x,y, z)ds fIx,y, (x, y)11+zx+zy dxdy 投:将曲面Σ向xy面投影,得Dy 二换:aS=1+2(x,y)+x3x,y)d 三代:f(x,,2:z=x(x,f(x,y,z(x,y);
( , , ( , )); ( , , ) : ( , ) f x y z f x y z x y z = z x y 1 ( , ) ( , ) ; 2 2 dS z x y z x y dxdy = + x + y . Dxy 将曲面 向 xoy 面投影，得 ( , , ) [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z d S f x y z x y z z dxdy Dx y x y = + + 1. 若曲面 : z = z(x, y); 则 三代： 二换： 一投：
2.若曲面∑:y=y(x,z)则 ∫(x,y)s=』/x,y(x,x,l1+y2+y2adt 投:将曲面Σ向xz面投影,得Dxz 二换:S=√+y2(x,x)+y2(x,x)th; 代:f(x,y,z) ∑:y=y(x,z) f(x, y(x, 2), 2);
[ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dx z x z = + + f (x, y,z)dS ( , ( , ), ); ( , , ) : ( , ) f x y z f x y x z z y = y x z 1 ( , ) ( , ) ; 2 2 dS y x z y x z dxdz = + x + z . 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz 则 三代： 二换： 一投： 2. 若曲面 ： y = y ( x,z )
3.若曲面∑:x=x(y,z)则 SSf(x, J, z)dS=5[x(, 2), ),z1v/+xy2+x2 dydz. 投:将曲面Σ向yoz面投影,得Dpz 二换:S=√1+x2(y)+x2(y,)dt 三代:f(x,,:x=x(0,) f(x(, 2),y, )
[ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z = + + f (x, y,z)dS 3. 若曲面 ： x = x( y,z) 则 三代： ( ( , ), , ); ( , , ) : ( , ) f x y z f x y z y z x = x y z 二换： 1 ( , ) ( , ) ; 2 2 dS x y z x y z dydz = + y + z 一投： . Dyz 将曲面 向 yoz 面投影，得