2.12逐步加精插值 用以上算式,当需要提高精度而增加节点时 原先的计算结果不能利用,全得重新计算。 故有人提出了便于逐步加精的算法 0()=Dn(x-x (x-x)x-x)-(x-x11(x-x,)(2 O,8)=(x-x)-(x-x)x-x3)-(x-x) Dnx) 故(31p(÷x y X-x 设有数据点位于 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 16 2.1.2 逐步加精插值 用以上算式，当需要提高精度而增加节点时 原先的计算结果不能利用, 全得重新计算。 故有人提出了便于逐步加精的算法。 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i k l n n i i n i i n n i n i i n i n i n i i n i i i i i i i n i n n n i i x x x x x x x x x y x D x D x L x y D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x 0 1 0 ' 0 , , , 0 1 1 ' 0 1 , 2 21 2 20 2 19 − − = = = − = − − − − = − − − − − = − = = − + 令 则 故（2-10）成为 设有数据点位于
2.12 若去掉其中x,则有 OK- (x)=m yi X-x x),(x) (2-22) 若去掉其中的x,则有 x1…x1…xk Vii-x x xiOn( 容易看出 X- X-X x y Vi-x,,, x,-xk i=0(-x x M-x y (x∑ xi-x i=ox-xion ( x =0(x-x)n(x (2-23) 所以,n次多项式可由两个仅有一个节点不同的n-1 次多项式经线性组合而成 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 17 2.1.2 若去掉其中xk ,则有 若去掉其中的xl ,则有 容易看出 所以，n次多项式可由两个仅有一个节点不同的n-1 次多项式经线性组合而成。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 22) 0 1 ' 0 1 − − − − = = − n i i n i i i k k k n n i l n x x x y x x x x x Q x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − = n i i n i i i l l l n n i k n x x x y x x x x x Q x x x x x x 0 1 ' 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 23) 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 1 1 = − − = − − − = − − − − − − − = − − − − − = = = = − − L x x x x y x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x Q x x x x x Q x x x x x n n i i n i i n n i i n i i l k l k n n i i n i i i l l k n n i i n i i i k l k n l n l k k l n l k k
2.12 Aitken逐步加精插值 定义线性组合运算符 G=A,(gk,g1)=x-X6g4-x-xg1(2-24) 当k=0,1=1,8k=y1281=y时,G=L1(x) 由此得到 Aitken逐步加精算法步骤 表2-3 Aitken算法步骤 X,y,I L,(x)=Lo, j(x)L2(x) xIly, Lo. (x)=A, (vo,y )=A、(x)() 3x|y|2y)=) X (x)=A,(n,y2)44=2(()44) 小(x)表示由x2x12xk诸点确定的 Lagrange多项式 插值求出x处的y值:LA(x)=y(x) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 18 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 18 2.1.2 Aitken 逐步加精插值 定义线性组合运算符 ( ) ( ) ( ) 由此得到 逐步加精算法步骤 当 时 Aitken k l g y g y G L x g x x x x g x x x x G g g k l l l k l k l k k x k l 1 0 1 0, 1, , , , 2 24 = = = = = − − − − − − = = i xi yi 0 1 2 3 4 5 x0 x1 x2 x3 x4 x5 y0 y1 y2 y3 y4 y5 表 2-3 Aitken算法步骤 ( ) L x L (x) 1 = 0,i ( ) L x L (x) 2 = 0,1,i ( ) ( ) 0,2 0 2 L x y , y = x ( ) ( ) 0,3 0 3 L x y , y = x ( ) ( ) 0,4 0 4 L x y , y = x ( ) ( ) 0,1 0 1 L x y , y = x ( ) ( ) L x (L x L (x)) 0,1,2 x 0,1 0,2 = , ( ) ( ) L x (L x L (x)) 0,1,3 x 0,1 0,3 = , ( ) ( ) L x (L x L (x)) 0,1,4 x 0,1 0,4 = , ………… ………… 表示由 诸点确定的Lagrange多项式 插值求出x处的y值： L (x) i, j,k i j k x , x , x L (x) y(x) i, j,k
2.12 表2-4 Aitken插值计算格式 Xi 2 4 X X1y1= X 0,1,2,3] X4|y4=14 [0,4 [0,1,4] 0,1,2,4] [0,1,2,3,4 X [0,1,5 11251L-01233 Lo.k(x)由xn…,x,x构成多项式求y(x) Lp(x)为由x…x,x构成多项式求u(x) …4]-1.n=△L 可用以估计LA和L-精度 并判断是否尚需继续加精 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 19 2.1.2 表2-4 Aitken 插值计算格式 i xi L0 L1 L2 L3 L4 0 x0 y0=L[0] 1 x1 y1=L[1] L[0,1] 2 x2 y2=L[2] L[0,2] L[0,1,2] 3 x3 y3=L[3] L[0,3] L[0,1,3] L[0,1,2,3] 4 x4 y4=L[4] L[0,4] L[0,1,4] L[0,1,2,4] L[0,1,2,3,4] 5 x5 y5=L[5] L[0,5] L[0,1,5] L[0,1,2,5] L[0,1,2,3,5] 6 x6 y6=L[6] ······· ··· ······· ··· ······· ··· ······· ··· ( ) ( ) ( ) ( ) 并判断是否尚需继续加精 可用以估计 和 的精度 为由 构成多项式求 为由 构成多项式求 i k i l i k i l i l i l i k i k L L L L L L x x x x y x L x x x x y x 0, , , 0, , , 0, , , 0, , , 0, , , 0 0, , , 0 , , , , , , − =
2.12 Neville逐步加精插值 用(2-24)线性组合公式尚可构成另一种步骤 表2-5Neⅶile算法步骤 x|y|L1(x)=Lt-1(x)L2(x)=L1-2m1(x) x,y1 1 4o. (x)=A (o, y) 2 y2 12] )=A 10 3xy34()=A(2y)42)=A42) 4x|y|4s4()=A.y,y)434)=A4 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 20 2.1.2 Neville 逐步加精插值 用（2-24）线性组合公式尚可构成另一种步骤 表2-5 Neville 算法步骤 i xi yi 0 1 2 3 4 5 x0 x1 x2 x3 x4 x5 y0 y1 y2 y3 y4 y5 ( ) L x L (x) 1 = i−1,i ( ) L x L (x) 2 = i−2,i−1,i ( ) ( ) 0,1 0 1 L x y , y = x ( ) ( ) 1,2 1 2 L x y , y = x ( ) ( ) 2,3 2 3 L x y , y = x ( ) ( ) 3,4 3 4 L x y , y = x ( ) ( ) 0,1,2 0,1 0,2 L x = x L , L ( ) ( ) 1,2,3 1,2 2,3 L x = x L , L ( ) ( ) 2,3,4 2,3 3,4 L x = x L , L ………… …………