浙江大学材料与化工学院《实用数值计算方法》_第二章 插值和逼近

2.1.1 最简单的插值多项式,n=1,线性插值 从(2-10) ()=∑x*2() X-x X-X yI X=Xo 0 X=x 1° y L( y 图2.5线性插值示意 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 11 2.1.1 最简单的插值多项式，n=1，线性插值 从（2-10） ( ) ( ) ( ) (2 11) 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1, 1, 1  −         − −  +         − − = =   = y x x x x y x x x x D x D x L x y i i i i i ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 0 0 x x L x y x x L x y = = = = ： ： y x • • 1 y 0 y 0 x 1 x f (x) L (x) 1 图 2.5 线性插值示意

2.1.1 多项式插值的误差 f(x)=P(x)+R,(x) (2-12) Rx)为P(x)的误差,或余项 构造 (使x=x;1=0,,mn时:P(x)=f(x)即R(x)=0) R,(x)=g() ix-x) 13) 对另一自变量定义一个新的函数 Q()=f()-P()-G(x)II(-x)(2-14) 取某个固定的x值,则 t=x.x 时Q()=0 Q()在[x02…x…xn]区间有(n+2)个根 若f()连续可微,反复应用Rl|e定理 Q0-)()在以上区间有一个根 y()=0,5∈[n…,x…,x](2-15) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 12 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 12 2.1.1 多项式插值的误差 为 的误差，或余项 构造 对另一自变量t定义一个新的函数 取某个固定的x 值，则 时 在 区间有（n+2）个根 若 连续可微，反复应用Rolle定理 在以上区间有一个根 f (x) = P (x)+ R (x) (2−12) n n R (x) n P (x) n ( = ; = 0, , : ( ) = ( ); ( ) = 0) i n i i n i 使x x i  n时 P x f x 即R x ( ) ( ) ( ) (2 13) 0 =  − − = n i n i R x G x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 14) 0 = − −  − − = n i n i Q t f t P t G x t x i n t x, x , , x , , x = 0   Q(t) = 0   n x , , x, , x Q(t) 0   f (t) ( ) Q (t) n+1 ( ) ( ) 0,  , , , ,  (2 15) 0 1 =  − + n n Q   x  x  x

2.1.1 将(2-14)对t求(n+1)阶导数 n+1 (n+1) (n+1) (n+1)n(n-1)21G(x)(2-16) P+)()=0(P0()是n次多项式) Q+)()=0 f+)(2)-G(x)+(m+1)=0 (n+1) 或G(x) n+1 (2-17)→(2-13) (n+1) R ∏I(x-x) n 0 5的确切值为未知但可用以 (1)估计误差界 (2)推导求积公式精度估计 (3)分析外推插值误差大于内插 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 13 2.1.1 将（2-14）对t 求（n+1）阶导数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 2 1 ( ) (2 16) 1 1 1 − +   −   − = − + + + n n n G x Q t f t P t n n n n  ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  , , , ,  (2 18) 1 ! 2 17 2 13 2 17 1 ! 1 ! 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1  −  − + = −  − − + = −  + = = = = + + + + + n n i i n n n n n n n n x x x x x n f R x n f G x f G x n Q P t P t n        或 是 次多项式 的确切值为未知 但可用以： （1）估计误差界 （2）推导求积公式精度估计 （3）分析外推插值误差大于内插   

2.1.1 示例24 表2-2 右表给出了若干 f(x) 节点上的函数值, 试比较用不同次 0.7651977 数的 Lagrange多 0.6200860 0.4554032 项式计算f(1.5) 0.2818186 的精度 2.2 0.1103623 2.5 -0.0483838 解 (1)取x0=1.3,x1=1.6,得到: 1.5-1.6 ×0.6200860 1.3-1.6 (1.5-1.3 0.4554022 6-1.3 =0.5102968 E=1.53×103 (2)取x=1.3,x1=1.6,x2=1.9,得到: 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 14 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 14 2.1.1 示例 2.4 右表给出了若干 节点上的函数值， 试比较用不同次 数的Lagrange多 项式计算f(1.5) 的精度 解 x f(x) 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 0.7651977 0.6200860 0.4554032 0.2818186 0.1103623 -0.0483838 表 2-2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 取 得到： 取 得到： 2 1.3, 1.6, 1.9, 1.53 10 0.5102968 0.4554022 1.6 1.3 1.5 1.3 0.6200860 1.3 1.6 1.5 1.6 1.5 1 1.3, 1.6, 0 1 2 3 1 0 1 = = =   =  − − +  − − = = = − x x x E L x x

2.1.1 L2(1.5) 15-1.6)15-1.9 ×0.6200860 1.3-16(1.3-1.9 15-1.3)(1.5-1.9 ×0.4554022 6-1.3(1.6-1.9 (1.5-1.6)1.5-1.6) ×0.2818186 (1.9-1.3(9-16) 0.5112857 5.42*10-4 (3)取x0=1.3,x1=1.6,x2=19,x3=22得到: L23(15)=0.5118302 E=2.5*10 (4)取x=13,x1=1.6,x2=1.9,x3=22,x4=25得到: L4(1.5)=0.5118200 E≡7.7*106 以上函数实际为0阶第1类 Bessel函数 (x)=∑(-1) 2 0(.5)=0.5118277 随着次数增加E减少。但最后又有所上升? 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 15 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 15 2.1.1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.5) 0.5118277 2 ! 1 0 1 7.7 10 1.5 0.5118200 4 1.3, 1.6, 1.9, 2.2, 2.5 2.5 10 1.5 0.5118302 3 1.3, 1.6, 1.9, 2.2 5.42 10 0.5112857 0.2818186 1.9 1.3 1.9 1.6 1.5 1.6 1.5 1.6 0.4554022 1.6 1.3 1.6 1.9 1.5 1.3 1.5 1.9 0.6200860 1.3 1.6 1.3 1.9 1.5 1.6 1.5 1.9 1.5 0 2 2 2 0 0 6 4 0 1 2 3 4 6 3 0 1 2 3 4 2 = = −   = = = = = =   = = = = =   =  − − − − +  − − − − +  − − − − =   = − − − J r x J x Bessel E L x x x x x E L x x x x E L r r r r 以上函数实际为 阶第 类 函数 取 得到： 取 得到： 随着次数增加 E 减少。但最后又有所上升？