银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第二章 导数与微分

银川能源学院《高签激学》救朱 第二童导数与微分 都存在且相等. 如果函数x)在开区间(a,b)内可导，且右导数f'+(a和左导数f”(b)都存在 就说fx)有闭区间[a,b]上可导 例6.求函数x)=x在=0处的导数. 解：ro=m0+f0-m h 4三1， h+0 r0=e0+外0-为1， 因为f”(0)卡f(0),所以函数x=x在x=0处不可导. 四、可导与连续的关系 函数=x)在点x0处的导数f"(xo)在几何上表示曲线=x)在点Mxo,几xo》 处的切线的斜率，即 f'(xo)=tan a, 其中是切线的倾角， 如果y=x)在点xo处的导数为无穷大，这时曲线=x)的割线以垂直于x轴 的直线x=0为极限位置，即曲线=x)在点M(xo,xo》处具有垂直于x轴的切线 x=x0.: 由直线的点斜式方程，可知曲线=x)在点Mxo,o)处的切线方程为 y-yo=f'(xo)(x-xo). 过切点Mxo,)且与切线垂直的直线叫做曲线=孔x)在点M处的法线如果 ∫心o0,法线的斜率为了高从而法线方程为 1 %=--w 例8.求等边双曲线=！在点(，2)处的切线的斜率，并写出在该点处的切 线方程和法线方程 解：y=,所求切线及法线的斜率分别为 名=（时4，与=名号 所求切线方程为y-2=-4x-),即4x+一4=0. 所求法线方程为y-2=x-,即2-8415=0. 例9求曲线y=xW的通过点(0，-4)的切线方程 解设切点的横坐标为xo,则切线的斜率为 第6页

银川能源学院《高等数学》教案 第二章 导数与微分 第 6 页 都存在且相等 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在 就说 f(x)有闭区间[a, b]上可导 例 6．求函数 f(x)x|在 x0 处的导数 解 1 | | lim (0 ) (0) (0) lim 0 0            h h h f h f f h h  1 | | lim (0 ) (0) (0) lim 0 0            h h h f h f f h h  因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x)|x|在 x0 处不可导 四、可导与连续的关系 函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 即 f (x 0)tan   其中是切线的倾角 如果 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大 这时曲线 yf(x)的割线以垂直于 x 轴 的直线 xx0 为极限位置 即曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0))处具有垂直于 x 轴的切线 xx0  由直线的点斜式方程 可知曲线 yf(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为 yy0f (x0)(xx0) 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 yf(x)在点 M 处的法线如果 f (x0)0 法线的斜率为 ( ) 1 0 f  x   从而法线方程为 ( ) ( ) 1 0 0 0 x x f x y y      例 8 求等边双曲线 x y 1  在点 , 2) 2 1 ( 处的切线的斜率 并写出在该点处的切 线方程和法线方程 解 2 1 x y    所求切线及法线的斜率分别为 ) 4 1 ( 2 1 2 1    x x k  4 1 1 1 2    k k  所求切线方程为 ) 2 1 y24(x  即 4xy40 所求法线方程为 ) 2 1 ( 4 1 y2 x  即 2x8y150 例 9 求曲线 yx x 的通过点(0 4)的切线方程 解 设切点的横坐标为 x0 则切线的斜率为

银川能源学院《高签激学》救朱 第二童导数与微分 =-26 于是所求切线的方程可设为 y-xoxx). 根据题目要求，点(0，-4)在切线上，因此 -4-6=0-, 解之得xo=4.于是所求切线的方程为 y-44=4x-4,即3x-4=0. 五、函数的可导性与连续性的关系 定理1设函数在点0处可导，即是=)存在.则 4=mA=g巴Ar=0=0. △r-0△x △r0△X△r0 这就是说，函数y=x)在点xo处是连续的.所以，如果函数y=x)在点x处可导， 则函数在该点必连续。 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导 例7.函数fx)=在区间(-o,+o)内连续，但在点x=0处不可导.这是因 为函数在点x=0处导数为无穷大 10+份0=地近0.n h 第7页

银川能源学院《高等数学》教案 第二章 导数与微分 第 7 页 0 2 1 2 3 0 2 3 2 3 ( ) ( ) 0 f x x x x x x        于是所求切线的方程可设为 ( ) 2 3 0 0 0 0 yx x  x xx  根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此 (0 ) 2 3 4 0 0 0 0  x x  x x  解之得 x04 于是所求切线的方程为 4( 4) 2 3 y4 4  x  即 3xy40 五、函数的可导性与连续性的关系 定理 1 设函数 yf(x)在点 x0 处可导 即 lim ( ) 0 0 f x x y x       存在 则 lim lim lim lim ( 0 ) 0 0 0 0 0 0                       x f x x y x x y y x x x x  这就是说 函数 yf(x)在点 x0 处是连续的 所以 如果函数 yf(x)在点 x 处可导 则函数在该点必连续 另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导 例 7． 函数 3 f (x) x 在区间(, )内连续 但在点 x0 处不可导 这是因 为函数在点 x0 处导数为无穷大 h f h f h (0 ) (0) lim 0        h h h 0 lim 3 0  x

银川能源学院《高签激学》救案 第二童导数与微分 第二节 导数的四则运算法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1如果函数=x)及=v(x)在点x具有导数，那么它们的和、差、积、 商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，并且 （1)[ux)士v(x)]'=(x)士v'(x); (2)[ux)v(x]'=t(x)x)+(x)v'(x)月 (3) ux)Tu(x)vx)-u(x)v(x) Lx)J 12(x) 证明（上-红+生+国生创 「x+h)-y±x+h)-y] =(x壮v'(x). h 法则(1)可简单地表示为 (y)'=t士y'. (2=网4+m+-n国 =吗r+hnr+-+h+n+M树 [4+-国x+h)++国 = h =m+-.mx+h)+-mr+- h>0 10 h =t(x)v(x)+(x)p'(x), 其中mx+h-=x)是由于vx)存在，故x)在点x连续. 法则(2)可简单地表示为 (w)'='v+w'. x+h列(x) (3) x)7' c+而的=lim u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h) h h→0 v(x+h)v(x)h [u(x+h)-ix)Jv(x)-u(x)[v(x+h)-vx)] v(x+h)v(x)h 4+--+-国 = h h vx+h)v(x) ()-ux)v(x) v2(x) 法则(3)可简单地表示为 (u 1v2 第8页

银川能源学院《高等数学》教案 第二章 导数与微分 第 8 页 第二节 导数的四则运算法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1 如果函数 uu(x)及 vv(x)在点 x 具有导数 那么它们的和、差、积、 商(除分母为零的点外)都在点 x 具有导数 并且 （1） [u(x) v(x)]u(x) v(x)  （2） [u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x) （3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x u x v x v x u x             证明 (1) h u x h v x h u x v x u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0                     h v x h v x h u x h u x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 u(x)v(x) 法则(1)可简单地表示为 (uv)uv  (2) h u x h v x h u x v x u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim 0        [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 1 lim 0 u x h v x h u x v x h u x v x h u x v x h h                      h v x h v x v x h u x h u x h u x h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 h v x h v x v x h u x h u x h u x h h h ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0             u(x)v(x)u(x)v(x) 其中 0 lim h v(xh)v(x)是由于 v(x)存在 故 v(x)在点 x 连续 法则(2)可简单地表示为 (uv)uvuv (3) v x h v x h u x h v x u x v x h h v x u x v x h u x h v x u x h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0 0                   v x h v x h u x h u x v x u x v x h v x h ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x h v x h v x h v x v x u x h u x h u x h         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x u x v  x   法则(3)可简单地表示为 2 ( ) v u v uv v u      

银川能源学院《高签激学》救朱 第二童导数与微分 (tv)'=士y,(w)'=+w,(=- 2 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形.例如，设 =(x)、1=(x)、w=w(x)均可导，则有 (u+-1w)'='+y'-w'. (w)'=[(w)w]'=(w)'w+(w)w' =(v+w+w'='w+w'w+w'. 即 (uww)'=u'vw+uv'w+uvw'. 在法则(2)中，如果=C(C为常数)，则有 (Cu)'=Cu'. 例1.y=2x3-5x2+3x-7,求y 解：y=(2x3-5x2+3x-7)=(2x3Y-(5x2'+(3x)-(7)'=2(x3y-5(x2)y'+3(x) =2.3x2-5-2x+3=6x2-10x+3. 例2.x=+4eosx-sn受，求f")及f受. 解：fx)=(6x3y+(4 cosxY--(sny=3x2-4sinx, 受=-4. 例3.y=e(sinx+cosx),求y. 解：y=(e')y'(sinx+cosx)re'(sinx+cosx)y =e*(sin x+cosx)+e*(cos x-sin x) =2e*cos x. 例4.设y=1+x，求y 解，少=（垫5-+h到0+时 9 1.x2-0+nx2x1-20+h)-1-2hx = x 例5.y=tanx,求y. 解：y=((tanxY=(Sn'=(sinx)'cosx--sinx(cosx coSx cos2x -cos2x+sin2x_1 cos2x -=sec2x. cos2x 即 (tan x)'=secx. 例6.y=secx,求y. 解：y=(sec=(L-lYcosx--cos=snx=-sec x tanx. cOSx cos2x coS2x 即 (sec x)'=sec x tan x. 用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式： (cot x)'=-cscx, (cscx)'=-csc x cotx. 第9页

银川能源学院《高等数学》教案 第二章 导数与微分 第 9 页 (uv)uv (uv)uvuv 2 ( ) v u v uv v u       定理 1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 uu(x)、vv(x)、ww(x)均可导 则有 (uvw)uvw (uvw)[(uv)w](uv)w(uv)w (uvuv)wuvwuvwuvwuvw 即 (uvw) uvwuvwuvw 在法则(2)中 如果 vC(C 为常数) 则有 (Cu)Cu 例 1．y2x 3 5x 2 3x7 求 y 解 y(2x 3 5x 2 3x7) (2x 3 )5x 2 )3x)7) 2 (x 3 ) 5 x 2 ) 3 x) 23x 2 52x36x 2 10x3 例 2 2 ( ) 3 4cos sin  f x x  x  求 f (x)及 ) 2 (  f   解 f x x x ) 3x 4sin x 2 ( )( 3)(4cos )(sin   2    4 4 3 ) 2 (  2   f  例 3．ye x (sin xcos x) 求 y 解 ye x )(sin xcos x) e x (sin xcos x)  e x (sin xcos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x 例 4. 设 2 1 ln x x y   ，求 ' y 解： 4 ' 2 2 ' ' 2 ' (1 ln ) (1 ln )( ) ) 1 ln ( x x x x x x x y        4 3 3 2 1 2(1 ln ) 1 2ln (1 ln )2 1 x x x x x x x x x           例 5．ytan x  求 y 解 x x x x x x x y x 2 cos (sin ) cos sin (cos ) ) cos sin (tan ) (           x x x x x 2 2 2 2 2 sec cos 1 cos cos sin      即 (tan x)sec2 x  例 6．ysec x 求 y 解 x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) (           x x 2 cos sin  sec x tan x  即 (sec x)sec x tan x  用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)csc 2 x  (csc x)csc x cot x 