*15.4三元一次方程组的解法前面我们学习了二元一次方程组及其解法一一消元法：有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数我们看下面的问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张自然的想法是，设1元、2元、5元的纸币分别为张、y张、之张，根据题意，可以得到下面三个方程：+y+z=12，x+2y+5z=22,r=4y.这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成++2=12x+2y+5z=22，r=4y.这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解，那么，能不能用同样的思路，用代人法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？让我们看前面列出的三元一次方程组①++=12.②x+2y+5z=22，?r=4y.仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含y*本节内容为选学内容第十五章二元一次方程组17
!"#$%&'()*+, 本节内容为选学内容． １５．４ 三元一次方程组的解法 前面我们学习了二元一次方程组及其解法———消元法．有些有两个未知数 的问题，可以列出二元一次方程组来解决．实际上，有不少问题含有更多未知 数．我们看下面的问题： 小明手头有１２张面额分别为１元、２元、５元的纸币，共计２２元，其中 １元纸币的数量是２元纸币数量的４倍．求１元、２元、５元纸币各多少张． 自然的想法是，设１元、２元、５元的纸币分别为狓张、狔张、狕张，根 据题意，可以得到下面三个方程： 狓＋狔＋狕＝１２， 狓＋２狔＋５狕＝２２， 狓＝４狔． 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在 一起，写成 狓＋狔＋狕＝１２， 狓＋２狔＋５狕＝２２， 狓＝４狔． 烅 烄 烆 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是１，并 且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或 加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能用同样的思 路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次 方程组呢？ 让我们看前面列出的三元一次方程组 狓＋狔＋狕＝１２， 狓＋２狔＋５狕＝２２， 狓＝４狔． 烅 烄 烆 ① ② ③ 仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含狔， ７１
之的方程：4y+y+z=12,4y+2y+5z=22它们组成方程组[5y+2=12,6y+5z=22.得到二元一次方程组之后，就不难求出和，进而可求出工从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路是一样的消元消元二元一次方程组一元一次方程三元一次方程组例1解三元一次方程组03+42=7,?2+3y十=9，?5x—9y+7z=8.分析：方程①只含，之，因此，可以由②③消去y，得到一个只含，2的方程，与方程①组成一个二元一次方程组，解：②×3+③，得④11r+10z=35.①与④组成方程组R[3r+42=7,11r+10z=35.解这个方程组，得α=5,-2把=5，之=一2代人②，得2X5+3y—2=9,1所以y318第十五章二元一次方程组
!"#$%&'()*+, 狕的方程： ４狔＋狔＋狕＝１２， ４狔＋２狔＋５狕＝２２． 它们组成方程组 ５狔＋狕＝１２， ６狔＋５狕＝２２． 烅 烄 烆 得到二元一次方程组之后，就不难求出狔和狕，进而可求出狓． 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过 “代入” 或 “加减”进行消元，把 “三元”化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为 解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的 思路是一样的． 例１ 解三元一次方程组 ３狓＋４狕＝７， ２狓＋３狔＋狕＝９， ５狓－９狔＋７狕＝８． 烅 烄 烆 ① ② ③ 分析：方程①只含狓，狕，因此，可以由②③消去狔，得到一个只含狓，狕 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组． 解：②×３＋③，得 １１狓＋１０狕＝３５． ④ ①与④组成方程组 ３狓＋４狕＝７， １１狓＋１０狕＝３５． 烅 烄 烆 解这个方程组，得 狓＝５， 狕＝－２． 烅 烄 烆 把狓＝５，狕＝－２代入② ，得 ２×５＋３狔－２＝９， 所以 狔＝１ ３． ８１
因此，这个三元一次方程组的解为你还有其他解r=5,法吗？试一试，并1y与这种解法进行3,比较，2=-2.O-例2在等式y=ar2+bx十c中，当=-1时，y=0；当=2时，y=3；当a=5时，y=60.求a，b，c的值分析：把α，b，c看作三个未知数，分别把已知的，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组，解：根据题意，得三元一次方程组[a-b+c=0,②4a+26+c=3，?25a+56+c=60.②-①，得④a+b=1;③-①，得?4a+b=10④与③组成二元一次方程组[a+b=1,4a+b=10解这个方程组，得(a=3,16=-2R把a=3，b=—2代人①，得城c=5.--因此[a=3,6=-2,-5.即a，b，c的值分别为3，一2，—5第十五章二元一次方程组19
!"#$%&'()*+, 因此，这个三元一次方程组的解为 你还有其他解 法吗？试一试，并 与这 种 解 法 进 行 比较． 狓＝５， 狔＝１ ３， 狕＝－２． 烅 烄 烆 例２ 在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝－１时，狔＝０；当狓＝２时， 狔＝３；当狓＝５时，狔＝６０．求犪，犫，犮的值． 分析：把犪，犫，犮看作三个未知数，分别把已知的狓，狔值代入原等式， 就可以得到一个三元一次方程组． 解：根据题意，得三元一次方程组 犪－犫＋犮＝０， ４犪＋２犫＋犮＝３， ２５犪＋５犫＋犮＝６０． 烅 烄 烆 ① ② ③ ②－①，得 犪＋犫＝１； ④ ③－①，得 ４犪＋犫＝１０． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 犪＋犫＝１， ４犪＋犫＝１０． 烅 烄 烆 解这个方程组，得 犪＝３， 犫＝－２． 烅 烄 烆 把犪＝３，犫＝－２代入①，得 犮＝－５． 因此 犪＝３， 犫＝－２， 犮＝－５， 烅 烄 烆 即犪，犫，犮的值分别为３，－２，－５． ９１
练习1.解下列三元一次方程组：r-2y=-9，3r-y十z=4，(1)3-2=3,(2)32r+3y—2=12,(22+r=47;+y+2=62.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的23求这三个数习题15.4复习巩固1.解下列三元一次方程组：[4r+9y=12,[y=2r-7,3y—22=1,(2)(1)35r+3y+2=2,197+52=(3r-42=4;42.解下列三元一次方程组：(4r—9z=17,[2r十4y十3z=9,(1)3x++152=18,(2)33r—2y+5z=11,+2y+32=2;5—6+72=13综合运用3．一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的7倍比个位、十位上的数的和大2，且个位、十位、百位上的数的和是14.求这个三位数4.解方程组[r:y=3:2.y:2=5:4,+y+=66拓广探索5.在等式y=ar2十br十c中，当=1时，y=-2：当r=-1时，y=20；当t=3与工时，y的值相等.求a，b，c的值220第十五章二元一次方程组
!"#$%&'()*+, １．解下列三元一次方程组： （１） 狓－２狔＝－９， 狔－狕＝３， ２狕＋狓＝４７； 烅 烄 烆 （２） ３狓－狔＋狕＝４， ２狓＋３狔－狕＝１２， 狓＋狔＋狕＝６． 烅 烄 烆 ２．甲、乙、丙三个数的和是３５，甲数的２倍比乙数大５，乙数的１ ３等于丙数的１ ２． 求这三个数． 习题１５．４ １．解下列三元一次方程组： （１） 狔＝２狓－７， ５狓＋３狔＋２狕＝２， ３狓－４狕＝４； 烅 烄 烆 （２） ４狓＋９狔＝１２， ３狔－２狕＝１， ７狓＋５狕＝１９ ４． 烅 烄 烆 ２．解下列三元一次方程组： （１） ４狓－９狕＝１７， ３狓＋狔＋１５狕＝１８， 狓＋２狔＋３狕＝２； 烅 烄 烆 （２） ２狓＋４狔＋３狕＝９， ３狓－２狔＋５狕＝１１， ５狓－６狔＋７狕＝１３． 烅 烄 烆 ３．一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的７倍比个位、 十位上的数的和大２，且个位、十位、百位上的数的和是１４．求这个三位数． ４．解方程组 狓∶狔＝３∶２， 狔∶狕＝５∶４， 狓＋狔＋狕＝６６． 烅 烄 烆 ５．在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝１时，狔＝－２；当狓＝－１时，狔＝２０；当狓＝ ３ ２与狓＝１ ３时，狔的值相等．求犪，犫，犮的值． ０２
阅读与思考一次方程组的古今表示及解法我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中，《九章算术》的“方程”一章，有许多关于一次方程组的内容，这一章的第。个间题译成现代汉语是这样的：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗：上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食斗是过去的容积计34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食量单位26斗．求上等谷、中等谷、下等谷每束各可得粮食几斗.下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？斗数上等谷束）：中等谷（束）下等谷（束）一中8《九章算术》中的算筹图是竖排的。为看图方便，上图改为横排，使三个横行表示三句话的含义不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题设上等谷、中等谷、下等谷每束各可得粮食工斗、斗、斗根据题意，得三元一次方程组①3元+2+=39②(*)2x+3y+2=34,?1+2+3=26.通过消元，可以求出各未知数上图实际上就是用算筹列出的方程组（*），它省略了各未知数，只用算等筹表示出未知第十五章二元一次方程组21
!"#$%&'()*+, 一次方程组的古今表示及解法 我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作 《九 章算术》中．《九章算术》的 “方程”一章，有许多关于一次方程组的内容．这一章的第一 个问题译成现代汉语是这样的： 斗是过去的容积计 量单位． 上等谷３束，中等谷２束，下等谷１束，可得粮食 ３９斗；上等谷２束，中等谷３束，下等谷１束，可得粮食 ３４斗；上等谷１束，中等谷２束，下等谷３束，可得粮食 ２６斗．求上等谷、中等谷、下等谷每束各可得粮食几斗． 下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？ 《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横 排，使三个横行表示三句话的含义． 不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有３个未知数的问题． 设上等谷、中等谷、下等谷每束各可得粮食狓斗、狔斗、狕斗． 根据题意，得三元一次方程组 ３狓＋２狔＋狕＝３９， ２狓＋３狔＋狕＝３４， 狓＋２狔＋３狕＝２６． 烅 烄 烆 ① ② ③ （） 通过消元，可以求出各未知数． 上图实际上就是用算筹列出的方程组（），它省略了各未知数，只用算筹表示出未知 １２