15.1二元一次方程组思考引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是工，负的场数是V，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数十负的场数一总场数，胜场积分十负场积分=总积分这两个条件可以用方程这两个方程有r+y=10,什么特点？与一元2x+y=16一次方程有什么表示不同？上面两个方程中，每个方程都含有两个未知O数（和y），并且含有未知数的项的次数都是1：像这样的方程叫做二元一次方程（linearequationin two unknowns).上面的问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数工，V必须同时满足方程①x+y=10R和②2x+y=16.把这两个方程合在一起，写成[α+y=10,[2+y=16,就组成了一个方程组，这个方程组中有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组(systemoflinearequationsintwounknowns).2第十五章二元一次方程组
!"#$%&'()*+, １５．１ 二元一次方程组 引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是狓，负 的场数是狔，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分． 这两个方程有 什么特点？与一元 一次 方 程 有 什 么 不同？ 这两个条件可以用方程 狓＋狔＝１０， ２狓＋狔＝１６ 表示． 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知 数 （狓和狔），并且含有未知数的项的次数都是１， 像这样的方程叫做二元一次方程 （ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）． 上面的问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数狓，狔必须同 时满足方程 狓＋狔＝１０ ① 和 ２狓＋狔＝１６． ② 把这两个方程合在一起，写成 狓＋狔＝１０， ２狓＋狔＝１６， 烅 烄 烆 就组成了一个方程组．这个方程组中有两个未知数，每个方程中含未知数的项 的次数都是１，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组 （ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）． ２
探究满足方程①，且符合问题的实际意义的，y的值有哪些？把它们填入表中.1上表中哪对工，y的值还满足方程②？由上表可知，=0，y=10；=1，y=9；=10，y=0使方程a十y=10两边的值相等，它们都是方程r十y=10的解.如果不考虑方程x十y=10与上面实际问题的联系，那么=一1，y=11；=0.5，y=9.5；……也都是这个方程的解，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解我们还发现，α=6，y=4既满足方程①，又满足方程②.也就是说，工=6，=4是方程①与方程②的公共解.我们把=6，V=4叫做二元一次方程组Jr+y=10,(2x+y=16的解.这个解通常记作x=6,.4联系前面的问题可知，这个队在10场比赛中胜6场、负4场一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.练习对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？3第十五章二元一次方程组
!"#$%&'()*+, 满足方程①，且符合问题的实际意义的狓，狔的值有哪些？把它们填 入表中． 狓 狔 上表中哪对狓，狔的值还满足方程②？ 由上表可知，狓＝０，狔＝１０；狓＝１，狔＝９；.；狓＝１０，狔＝０使方程狓＋狔＝ １０两边的值相等，它们都是方程狓＋狔＝１０的解．如果不考虑方程狓＋狔＝１０ 与上面实际问题的联系，那么狓＝－１，狔＝１１；狓＝０．５，狔＝９．５；.也都是 这个方程的解． 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次 方程的解． 我们还发现，狓＝６，狔＝４既满足方程①，又满足方程②．也就是说，狓＝ ６，狔＝４是方程①与方程②的公共解．我们把狓＝６，狔＝４叫做二元一次方 程组 狓＋狔＝１０， ２狓＋狔＝１６ 烅 烄 烆 的解．这个解通常记作 狓＝６， 狔＝４． 烅 烄 烆 联系前面的问题可知，这个队在１０场比赛中胜６场、负４场． 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组 的解． 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解． 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成９００件，第二道工序每人 每天可完成１２００件．现有７位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每 天第一、第二道工序所完成的件数相等？ ３
习题15.1复习巩固1.填表，使上下每对工，y的值是方程3r十一5的解2-200.4a-0.5-103y2.选择题，方程组3r+4y=5.5-7r+9y=2的解是（0.[r=2,一5.5,-1a=lT=A(A)(B)(C)(D)ly=-0.25ly=4Ly=0.5ly=-0.5综合运用3.如果三角形的三个内角分别是，yy，求：（1），y满足的关系式；（2）当r=90时，y的值；（3）当y=60时，工的值4，我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？试找出问题的解拓广探索5.把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？4第十五章二元一次方程组
!"#$%&'()*+, 习题１５．１ １．填表，使上下每对狓，狔的值是方程３狓＋狔＝５的解． 狓 －２ ０ ０．４ ２ 狔 －０．５ －１ ０ ３ ２．选择题． 方程组 ３狓＋４狔＝５， －７狓＋９狔＝－５ ２ 烅 烄 烆 的解是 （ ）． （Ａ） 狓＝２， 狔＝－０．２５ 烅 烄 烆 （Ｂ） 狓＝－５．５， 狔＝４ 烅 烄 烆 （Ｃ） 狓＝１， 狔＝０．５ 烅 烄 烆 （Ｄ） 狓＝－１， 狔＝－０．５ 烅 烄 烆 ３．如果三角形的三个内角分别是狓°，狔°，狔°，求： （１）狓，狔满足的关系式； （２）当狓＝９０时，狔的值； （３）当狔＝６０时，狓的值． ４．我国古代数学著作 《孙子算经》中有 “鸡兔同笼”问题： “今有鸡兔同笼，上有 三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数 量关系吗？试找出问题的解． ５．把一根长７ｍ的钢管截成２ｍ长和１ｍ长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？ 你有几种不同的截法？ ４
15.2消元-解二元一次方程组在15.1节中我们已经看到，直接设两个未知数：胜场、负y场，可以x+y=10列方程组表示本章引言中问题的数量关系如果只设一个未知数：12r+y=16胜工场，那么这个问题也可以用一元一次方程2x+(10—x)=16来解.思考上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？我们发现，二元一次方程组中第一个方程十y=10可以写为y=10一z由于两个方程中的y都表示负的场数，所以，我们把第二个方程21十y=16中的y换为10一，这个方程就化为一元一次方程2x十（10一x）=16.解这个方程，得r=6.把=6代入y=10一，得y=4.从而得到这个方程组的解。二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法（substitutionmethod).例1用代入法解方程组a-y=3,②3-8y=14.5第十五章二元一次方程组
!"#$%&'()*+, １５．２ 消元———解二元一次方程组 在１５．１节中我们已经看到，直接设两个未知数：胜狓场、负狔场，可以 列方程组狓＋狔＝１０， ２狓＋狔＝１６ 烅 烄 烆 表示本章引言中问题的数量关系．如果只设一个未知数： 胜狓场，那么这个问题也可以用一元一次方程 ２狓＋（１０－狓）＝１６ 来解． 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？ 我们发现，二元一次方程组中第一个方程狓＋狔＝１０可以写为狔＝１０－狓． 由于两个方程中的狔都表示负的场数，所以，我们把第二个方程２狓＋狔＝１６ 中的狔换为１０－狓，这个方程就化为一元一次方程２狓＋（１０－狓）＝１６．解这个 方程，得狓＝６．把狓＝６代入狔＝１０－狓，得狔＝４．从而得到这个方程组 的解． 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二 元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数， 然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫 做消元思想． 上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个 未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元 一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法 （ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ）． 例１ 用代入法解方程组 狓－狔＝３， ３狓－８狔＝１４． 烅 烄 烆 ① ② ５
分析：方程①中的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便解：由①，得把③代入①可以③x=y+3.吗？试试看.把③代入②，得3(y+3)-8y=14.解这个方程，得y=-1.把y=一1代人③，得把y=-1代入x=2.①或②可以吗？所以这个方程组的解是[=2,v=-1.例2根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？分析：问题中包含两个条件：大瓶数：小瓶数=2：5，大瓶所装消毒液十小瓶所装消毒液=总生产量解：设这些消毒液应该分装1大瓶、小瓶根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得①5r=2y,②500.+250y=22500000.由①，得5③2把③代入②，得5500+250×=22500000.解这个方程，得6第十五章二元一次方程组
!"#$%&'()*+, 分析：方程①中狓的系数是１，用含狔的式子表示狓，比较简便． 把③代入①可以 吗？试试看． 解：由①，得 狓＝狔＋３． ③ 把③代入②，得 ３（狔＋３）－８狔＝１４． 解这个方程，得 狔＝－１． 把狔＝－１代入 ①或②可以吗？ 把狔＝－１代入③，得 狓＝２． 所以这个方程组的解是 狓＝２， 狔＝－１． 烅 烄 烆 例２ 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 （５００ｇ）和小瓶装 （２５０ｇ）两 种产品的销售数量 （按瓶计算）比为２∶５．某厂每天生产这种消毒液２２．５ｔ， 这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 分析：问题中包含两个条件： 大瓶数∶小瓶数＝２∶５， 大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量． 解：设这些消毒液应该分装狓大瓶、狔小瓶． 根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得 ５狓＝２狔， ５００狓＋２５０狔＝２２５０００００． 烅 烄 烆 ① ② 由①，得 狔＝５ ２狓． ③ 把③代入②，得 ５００狓＋２５０×５ ２狓＝２２５０００００． 解这个方程，得 ６