西北工业大学出版社：《高等代数》课程教学指导书（北大·第三版，徐仲、陆全、张凯院、吕全义、陈芳、袁志杰）

22 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 例19设f(x),g(x)都是数域P上次数大于零的多项式，且 (f(x),g(x)=1证明：存在P上惟一的多项式s(x),《x),其中(sx)< (g(x),((x))<(f(x),使 sx)f八x)+t(x)gx)=1 又取f八x)=,g(x)=·2x+1,用待定系数法求sx),(x),使上式成立 证由最大公因式的性质知，存在P上多项式(x),Wx),使 Mx)f八x)+(x)g(x)=1 (*) 从而根据多项式互素的充分必要条件知(Mx),gx)=1,((x),八x)= 1由带余除法得 u(x)=q(x)g(x)+s(x),v(x)=g(x)f(x)+ix) 其中(sx)<(g(x),((x)<(f(x),代入(*)式并整理得 ((x)+(x))f八x)g(x)+(x)f(x)+(x)g(x)=1 比较上式两端的次数，可知(4(x)+(x)f(x)g(x)=0,于是有 s(x)f(x)+1(x)g(x)=1 再证惟一性设有多项式9(x),(x)也满足 a(x)f八x)+A(x)g(x)=0 且((x)<(g(x),((x)<(f代x),上式与前一式相减得 (9(x)-x)fx)+(4(x)·(x)gx)=0 可见gx)1[(s(x)·sx)fx)],但(f八x),g(x)=1,从而8(x)1[s(x)- x)].由于(x)和sx)的次数都小于gx)的次数，故只有s(x)-(x)=0, 即9(x)=x).同理，可得(x)=《x) 当x)=3,g(x)=2-2x+1时，(fx),g(x))=1,所以可设 s(x)=ax+b,I(x)=cx2+dx+e 使 (ar+)x2+(cax2+dk+e)(X·2x+1)=1 比较等式两端同次项系数，得 a+c=0,b.2c+d=0,c-2d+e=0,d-2e=0,e=1 解得a=-3,b=4,c=3,d=2,e=1 故 x)=-3x+4,(x)=3x2+2x+1 例110己知f八x),gx)是数域P上的多项式，证明： (1)(f(x),gx))=(x)±g(x)x),gx),其中Mx)为数域P上的 任意多项式：

例 1 .9 设 f ( x) , g( x ) 都 是 数 域 P 上 次 数 大 于 零 的 多 项 式 , 且 ( f ( x) , g( x) ) = 1 .证明 : 存在 P 上惟一的多项式 s( x ) , t( x) , 其中 ( s( x) ) < ( g( x) ) , ( t( x ) ) < ( f ( x ) ) ,使 s( x) f( x) + t( x ) g( x) = 1 又取 f ( x ) = x 3 , g( x ) = x 2 - 2 x + 1, 用待定系数法求 s( x) , t( x ) , 使上式成立 . 证 由最大公因式的性质知 ,存在 P 上多项式 u( x ) , v( x ) , 使 u( x) f( x) + v( x ) g( x) = 1 ( * ) 从而根据多项式互素的充分必要条件知 ( u( x) , g( x ) ) = 1, ( v( x) , f( x) ) = 1 .由带余除法得 u( x ) = q1 ( x ) g( x) + s( x) , v( x) = q2 ( x) f( x) + t( x) 其中 ( s( x) ) < ( g( x ) ) , ( t( x ) ) < ( f ( x) ) , 代入( * ) 式并整理得 ( q1 ( x) + q2 ( x) ) f( x) g( x) + s( x) f ( x ) + t( x) g( x) = 1 比较上式两端的次数 ,可知 ( q1 ( x ) + q2 ( x) ) f ( x ) g( x) = 0 ,于是有 s( x) f( x) + t( x ) g( x) = 1 再证惟一性 .设有多项式 s1 ( x) , t1 ( x ) 也满足 s1 ( x) f( x) + t1 ( x) g( x ) = 0 且 ( s1 ( x ) ) < ( g( x) ) , ( t1 ( x ) ) < ( f( x) ) . 上式与前一式相减得 ( s1 ( x) - s( x) ) f( x) + ( t1 ( x) - t( x ) ) g( x) = 0 可见 g( x) | [ ( s1 ( x) - s( x) ) f ( x ) ] ,但 ( f ( x ) , g( x ) ) = 1 ,从而 g( x) | [ s1 ( x) - s( x) ] . 由于 s1 ( x ) 和 s( x) 的次数都小于 g( x) 的次数 , 故只有 s1 ( x ) - s( x ) = 0, 即 s1 ( x ) = s( x ) . 同理 ,可得 t1 ( x ) = t( x) . 当 f( x) = x 3 , g( x ) = x 2 - 2 x + 1 时 , ( f( x) , g( x) ) = 1,所以可设 s( x) = ax + b, t( x ) = cx 2 + dx + e 使 ( ax + b) x 3 + ( cx 2 + dx + e) ( x 2 - 2 x + 1 ) = 1 比较等式两端同次项系数 ,得 a + c = 0 , b - 2c + d = 0 , c - 2 d + e = 0, d - 2e = 0, e = 1 解得 a = - 3 , b = 4 , c = 3 , d = 2 , e = 1 . 故 s( x) = - 3 x + 4 , t( x) = 3 x 2 + 2 x + 1 例 1 .10 已知 f ( x ) , g( x) 是数域 P 上的多项式 ,证明 : ( 1) ( f ( x ) , g( x) ) = ( f( x) ± g( x) u( x) , g( x) ) ,其中 u( x ) 为数域 P 上的 任意多项式 ; 22 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考

第1章多项式 23 (2)设)=x+a1x1+.+ax+0(a≠0)，g(x)=x1+ 1x2+.+ex+a,则(fx),g(x)=1 证(1)设(f八x),gx)=d(x),(fx)±g(x)Mx),gx)=d(x) 由于d(x)f(x),dx)|g(x),所以dx)I[fx)±gx)x)],于是 d(x)d(x). 另一方面，d4(x)川[八x)±g(x)Mx)],d(x)1g(x),所以d(x)|f(x), 于是d(x)1dx)又dx)与d(x)均为首一多项式，所以d(x)=d(x),即 (f(x),gx))=(f八x)±gx)Mx),g(x) (2)由于八x)+(x)g(x)=a≠0，利用本题(1)的结论得 (fx),g(x)=(fx)+(-x)g(x),g(x)=(a,g(x)=1 例111证明：数域P上一个n(>0)次多项式f(x)能被它的导数f(x) 整除的充分必要条件是fx)=a(x-)”,其中a,b∈P. 证充分性因为fx)=a(x·)",f(x)=na(x·b)l,所以 f(x)|f八x). 必要性法1利用标准分解式，设(x)的标准分解式为 x)=pi(x)p2(x).(x) 其中p(x)(1=1,2,.,)是P上首项系数为1的不可约多项式，a是f(x)的 首项系数，r(1=1,2,.,s)是正整数且n+乃+.+5=n则 f(x)=pi(x)应'(x).p'(x)g(x) 此处gx)不能被任何(x)(i=1,2,.,S)整除 因为f(x)川fx),所以gx)|n(x)(x)p.(),可见g(x)可能的因式 为非零常数及p(x)(i=1,2,.,),但p(x)8g(x)(i=1,2,.,s),故 g(x)=c≠0. 设（p(x)=m(i=1,2,.,s,则有 mn+m5+.+mr,=(f八x)=n m(n·1)+e(n·1)+.+m(5·1)=（f(x)=n-1 即得n(m+他+.+m)=n1,从而m+m+.+m=1这只有 m=1,s=1,且n=n,于是f(x)=ap(x)设pm(x)=x-b,则有 八x)=a(x·b)" 法2待定系数法设 fx)=ax”+a1X-1+.+ax+m(a∈P,a≠0) 则

( 2) 设 f( x) = x n + an - 1 x n- 1 + . + a1 x + a0 ( a0 ≠ 0 ) , g( x ) = x n- 1 + an - 1 x n - 2 + . + a2 x + a1 , 则( f( x) , g( x ) ) = 1 . 证 ( 1) 设 ( f ( x ) , g( x) ) = d( x ) , ( f ( x) ± g( x ) u( x ) , g( x) ) = d1 ( x ) . 由于 d( x ) | f ( x) , d( x) | g( x) , 所以 d( x) | [ f( x) ± g( x) u( x ) ] , 于是 d( x) | d1 ( x ) . 另一方面 , d1 ( x ) | [ f( x) ± g( x ) u( x ) ] , d1 ( x) | g( x ) , 所以 d1 ( x) | f ( x ) , 于是 d1 ( x) | d( x) .又 d( x) 与 d1 ( x ) 均为首一多项式 ,所以 d( x ) = d1 ( x) ,即 ( f ( x ) , g( x) ) = ( f( x) ± g( x) u( x) , g( x) ) ( 2) 由于 f( x) + ( - x) g( x) = a0 ≠ 0 ,利用本题( 1) 的结论得 ( f ( x ) , g( x) ) = ( f( x) + ( - x) g( x ) , g( x) ) = ( a0 , g( x ) ) = 1 例 1 .11 证明 :数域 P 上一个 n( > 0) 次多项式 f ( x ) 能被它的导数 f′( x) 整除的充分必要条件是 f ( x) = a( x - b) n ,其中 a, b∈ P . 证 充分性 因为 f ( x ) = a( x - b) n , f′( x ) = na( x - b) n- 1 , 所以 f′( x) | f( x) . 必要性 法 1 利用标准分解式 ,设 f ( x) 的标准分解式为 f( x) = ap r 1 1 ( x ) p r 2 2 ( x ). p r s s ( x) 其中 pi ( x) ( i = 1,2 ,. , s) 是 P 上首项系数为 1 的不可约多项式 , a是 f ( x) 的 首项系数 , ri ( i = 1 ,2 ,. , s) 是正整数且 r1 + r2 + . + rs = n .则 f′( x ) = p r 1 - 1 1 ( x) p r 2 - 1 2 ( x) . p r s - 1 s ( x) g( x ) 此处 g( x) 不能被任何 pi ( x) ( i = 1,2 ,. , s) 整除 . 因为 f′( x) | f ( x ) , 所以 g( x) | p1 ( x) p2 ( x) .ps ( x) ,可见 g( x ) 可能的因式 为非零常数 及 pi ( x ) ( i = 1 ,2 ,. , s) , 但 pi ( x) 8 g( x) ( i = 1 ,2, . ,s) , 故 g( x) = c ≠ 0 . 设 ( pi ( x) ) = mi ( i = 1 ,2 ,. , s) , 则有 m1 r1 + m2 r2 + . + ms rs = ( f( x) ) = n m1 ( r1 - 1) + m2 ( r2 - 1) + . + ms ( rs - 1) = ( f′( x ) ) = n - 1 即得 n - ( m1 + m2 + . + ms ) = n - 1, 从而 m1 + m2 + . + ms = 1 .这只有 m1 = 1 , s = 1 ,且 r1 = n,于是 f ( x ) = ap n 1 ( x ) .设 p1 ( x ) = x - b,则有 f( x) = a( x - b) n 法 2 待定系数法 .设 f( x) = an x n + an - 1 x n - 1 + . + a1 x + a0 ( ai ∈ P, an ≠ 0) 则 第 1 章 多项式 23

24 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 f()=nax1+(n-1)a1X-2+.+a 由f(x)Ix)及(f(x)=(f(x)+1知，存在多项式cx+d使 f(x)f(x)(cx+d) 因而c=大此时 动=了到h+d=hF((x+=(x 其中6=d.于是()八)了八)，即为首项系数为1的n1次 多项式.故 fx) I()(3) =a(x·) fx) 由于，)(x包含了)的全部不可约因式，所以八)的不可约 因式只能是x·b及它的非零常数倍，考虑到八x)的次数是n,所以f(x)具有 形式 frx)=ax-b)”(a,b∈P) 例112当a,b满足什么条件时，多项式x)=+4ax+b有重根？ 解法1f(x)=4x+4a.用f(x)除f(x)得余式为n(x)=3ar+b, 可见当a=b=0时，f(x)与f(x)有3次的最大公因式；当a≠0时，用n(x) 除f(x)得余式 n(x)=427d、B 27d 可见27d·B=0时，f八x)与f(x)有2次的最大公因式.综上可知，当 27d·B=0时，f(x)与(x)不互素，f(x)有重根 法2当a=0时，只有b=0,f八x)=x才有重根（重数是3） 当a≠0时，设a是f(x)的重根，则a也是f(x)的根，即有 f八a)=d+4a0+b=0,f(a)=4c3+4a=0 整理得《心+40=点心=·a解得a=·品于是 (=t=。即7d80 综上可知，当27d·6=0时，x)有重根

f′( x) = nan x n- 1 + ( n - 1) an - 1 x n - 2 + . + a1 由 f′( x) | f( x) 及 ( f ( x) ) = ( f′( x ) ) + 1 知 ,存在多项式 cx + d使 f ( x) = f′( x) ( cx + d) 因而 c = 1 n , 此时 f ( x) = f′( x) 1 n x + d = 1 n f′( x ) ( x + nd ) = 1 n f′( x) ( x - b) 其中 b = - 1 n d . 于是 ( f ( x ) , f′( x) ) = 1 nan f′( x) ,即为首项系数为1 的 n - 1 次 多项式 . 故 f( x) ( f ( x ) , f′( x ) ) = 1 n f′( x ) ( x - b) 1 nan f′( x ) = an ( x - b) 由于 f( x) ( f ( x ) , f′( x ) ) 包含了 f ( x ) 的全部不可约因式 ,所以 f ( x) 的不可约 因式只能是 x - b及它的非零常数倍 . 考虑到 f( x) 的次数是 n,所以 f ( x ) 具有 形式 f( x) = a( x - b) n ( a, b∈ P) 例 1 .12 当 a, b满足什么条件时 ,多项式 f( x) = x 4 + 4 ax + b有重根 ? 解 法 1 f′( x) = 4 x 3 + 4 a . 用 f′( x) 除 f ( x) 得余式为 r1 ( x) = 3 ax + b, 可见当 a = b = 0 时 , f ( x ) 与 f′( x ) 有 3 次的最大公因式 ;当 a≠ 0 时 ,用 r1 ( x) 除 f′( x) 得余式 r2 ( x ) = 4( 27 a 4 - b 3 ) 27 a 3 可见 27a 4 - b 3 = 0 时 , f ( x ) 与 f′( x ) 有 2 次的最大公因式 . 综上可知 , 当 27 a 4 - b 3 = 0 时 , f ( x) 与 f′( x) 不互素 , f ( x ) 有重根 . 法 2 当 a = 0 时 ,只有 b = 0, f( x) = x 4 才有重根 (重数是 3 ) . 当 a≠ 0 时 ,设α是 f ( x ) 的重根 , 则α也是 f′( x) 的根 ,即有 f (α) = α4 + 4 aα+ b = 0 , f′(α) = 4α3 + 4 a = 0 整理得α(α3 + 4 a) = - b, α3 = - a,解得α= - b 3 a ,于是 - b 3 a 3 = α3 = - a 即 27 a 4 - b 3 = 0 综上可知 , 当 27 a 4 - b 3 = 0 时 , f( x) 有重根 . 24 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考

第1章多项式 25 例113当正整数n取何值时，x)=(x+1)”·x”·1有重因式 分析考虑重因式的问题，一般来说总是从求(x),(x)入手，此时 若八x)的次数不高，则利用辗转相除法确定(x),(x),或利用第三章的 方法，考察x)与(x)的结式.当f(x)的次数较高或不定时，也可通过x) 与(x)有公共根来讨论代x)的重因式. 解f(x)=n(x+1)-1·x”.由重因式判别定理知，八x)有重因式的充 分必要条件是f(x)与f(x)不互素，即f(x)与(x)有公共根a,于是 f(a)=(a+1)”·d-1=0,f(a)=na+1)m-1-m-1=0 即(a+1)”=+1,(a+1)1=d1,从而 d+1=(a+1)”=(a+1)(a+1)-1=(a+1)a 可得1=1，(a+1)-1=1,这表明a与a+1都是n·1次单位根.令a= a+,则a+1=(a+1)+i,由1a|=|a+1|=1得d+B=(a+1)2+ 8=1,所以a=分，b=士号于是@=.支±5，即a是3次单位根，故 31(n-1) 例114已知1·i是方程x·4x3+5·2x-2=0的一个根，解此 方程 解法1由于实系数方程的复根成对出现，1·i是方程的根，从而1+1 也是它的一个根.设α，B是它的另两个根，则由根与系数的关系知 [a+B+(1-i)+(1+i)=4 8(1-i)(1+i)=·2 解得a=1+2,B=1·2.故方程的四个根为 1+i,1-i,1+2,1-迈 法2因为1±ⅰ是所给方程的根，故多项式 fx)=x-4x2+5x2-2x-2 可被gx)=[x-(1-i)][x+(1-)]=2.2x+2整除.用g(x)去除f(x), 得商为2·2x·1,它的根为1士2.故原方程的四个根为 1+i,1-i,1+2,1.2 例115求f(x)=3+2x-6x-8x+17x3+6x2-20x+8的根 解法1 (x)=7+12x3-30x-32+512+12x.20

例 1 .13 当正整数 n取何值时 , f( x) = ( x + 1) n - x n - 1 有重因式 . 分析 考虑重因式的问题 , 一般来说总是从求 ( f( x) , f′( x ) ) 入手 , 此时 若 f( x) 的次数不高 , 则利用辗转相除法确定 ( f( x) , f′( x) ) , 或利用第三章的 方法 ,考察 f( x) 与 f′( x ) 的结式 . 当 f ( x ) 的次数较高或不定时 ,也可通过 f( x) 与 f′( x) 有公共根来讨论 f( x) 的重因式 . 解 f′( x) = n( x + 1 ) n - 1 - nx n . 由重因式判别定理知 , f( x) 有重因式的充 分必要条件是 f ( x ) 与 f′( x) 不互素 ,即 f ( x ) 与 f′( x) 有公共根α,于是 f (α) = (α+ 1 ) n - αn - 1 = 0 , f′(α) = n(α+ 1 ) n - 1 - nαn- 1 = 0 即(α+ 1) n = αn + 1, (α+ 1) n- 1 = αn - 1 ,从而 αn + 1 = (α+ 1 ) n = (α+ 1) (α+ 1) n - 1 = (α+ 1 )αn - 1 可得αn - 1 = 1 , (α+ 1 ) n - 1 = 1 ,这表明α与α+ 1 都是 n - 1 次单位根 . 令 α= a + bi , 则α+ 1 = ( a + 1) + bi ,由 | α| = | α+ 1 | = 1 得 a 2 + b 2 = ( a + 1) 2 + b 2 = 1, 所以 a = - 1 2 , b =± 3 2 . 于是α= - 1 2 ± 3 2 i ,即α是 3 次单位根 , 故 3 | ( n - 1) . 例 1 .14 已知 1 - i 是方程 x 4 - 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x - 2 = 0 的一个根 , 解此 方程 . 解 法 1 由于实系数方程的复根成对出现 ,1 - i 是方程的根 ,从而 1 + i 也是它的一个根 . 设α,β是它的另两个根 ,则由根与系数的关系知 α+ β+ (1 - i) + ( 1 + i) = 4 αβ(1 - i) ( 1 + i) = - 2 解得α= 1 + 2 , β= 1 - 2 . 故方程的四个根为 1 + i , 1 - i , 1 + 2 , 1 - 2 法 2 因为 1± i 是所给方程的根 ,故多项式 f( x) = x 4 - 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x - 2 可被 g( x) = [ x - (1 - i) ] [ x + (1 - i) ] = x 2 - 2 x + 2整除 . 用 g( x) 去除 f ( x ) , 得商为 x 2 - 2 x - 1 ,它的根为 1± 2 . 故原方程的四个根为 1 + i , 1 - i , 1 + 2 , 1 - 2 例 1 .15 求 f ( x ) = x 7 + 2 x 6 - 6 x 5 - 8 x 4 + 17 x 3 + 6 x 2 - 20 x + 8 的根 . 解 法 1 f′( x ) = 7 x 6 + 12 x 5 - 30 x 4 - 32 x 3 + 51 x 2 + 12 x - 20 第 1 章 多项式 25

26 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 用辗转相除法，得 (f(x),f(x)=x+x·5x-2+8x-4 于是 f(x) M=(x),f(x) =x2+x-2=(x-1)(x+2) 由于x)与qx)有完全相同的不可约因式x·1,x+2,可见f(x)有根1， ·2.再用综合除法 1 1 2 -6 -8 17 6 -20 3-3·11 6 2 1 -3-11 6 12 .8 4 1-10-4 8 1 4 1-10 .4 8 0 5 6 -4 -8 5 6 .4 .8 0 6 12 8 1 6 12 8 0 19 1 71927 可见1是f(x)的四重根，·2是f(x)的三重根 法2(x)为首项系数为1的整系数多项式，故它的有理根都是整数，且都 是常数项的因子.常数项8的因子为±1，±2，±4，士8 对x=1应用综合除法检验（同上），可见x=1为孔x)的四重根，且 f八x)=(x-1)4(x3+62+12x+8) 而对g(x)=+6xX2+12x+8,有 -116128 .1.5.7 268 1571≠0 182864≠0 所以x=·1,x=2不是x)的有理根，从而不是f(x)的有理根.又有 -216128 -8 -21440 2 4 -2120 2■ 10

用辗转相除法 , 得 ( f ( x) , f′( x) ) = x 5 + x 4 - 5 x 3 - x 2 + 8 x - 4 于是 q( x) = f ( x) ( f ( x ) , f′( x) ) = x 2 + x - 2 = ( x - 1) ( x + 2) 由于 f( x) 与 q( x ) 有完全相同的不可约因式 x - 1, x + 2 , 可见 f ( x) 有根 1, - 2 . 再用综合除法 1 1 1 1 1 1 2 1 ' - 6 3 ? - 8 - 3 V 17 - 11 m 6 6 l - 20 12 › 8 - 8 ² 1 3 1 ' - 3 4 ? - 11 1 V 6 - 10 m 12 - 4 „ - 8 8 › 0 1 4 1 ' 1 5 ? - 10 6 V - 4 - 4 m 8 - 8 „ 0 1 5 1 ' 6 6 ? - 4 12 V - 8 8 m 0 1 6 1 ' 12 7 ? 8 19 V 0 1 7 19 27 mV?' 可见 1 是 f ( x ) 的四重根 , - 2 是 f ( x ) 的三重根 . 法2 f( x) 为首项系数为1 的整系数多项式 ,故它的有理根都是整数 ,且都 是常数项的因子 . 常数项 8 的因子为 ±1, ± 2, ±4 , ±8 . 对 x = 1 应用综合除法检验 ( 同上) ,可见 x = 1 为 f( x) 的四重根 ,且 f( x) = ( x - 1) 4 ( x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8) 而对 g( x) = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 ,有 - 1 1 6 - 1 Ê 12 - 5 á 8 - 7 ø 1 5 7 1 ≠ 0 %Êá² 2 1 6 2 = 12 16 T 8 56 k 1 8 28 64 ≠ 0 %T=¯ 所以 x = - 1 , x = 2 不是 g( x ) 的有理根 , 从而不是 f ( x ) 的有理根 . 又有 - 2 - 2 - 2 1 6 - 2 „ 12 - 8 › 8 - 8 ² 1 4 - 2 „ 4 - 4 › 0 1 2 - 2 „ 0 1 0 „l 26 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考