即a, =→}" (x)dx.又以 cos kx 乘(9)式两边(k为正整数),得f(x)cos kx = "o cos kx280+ Z(a,cos nx cos kx + b, sin nx cos kx). (11)n=1从第十三章 $1习题4知道，由级数(9)一致收敛,可得级数(11)也一致收敛.于是对级数(11)逐项求积有后页返回前页
前页 后页 返回 即 π 0 π 1 ( )d . π a f x x − = 又以 coskx 乘(9)式两边 (k为正整数), 得 0 ( )cos cos 2 a f x kx kx = 1 ( cos cos sin cos ). (11) n n n a nx kx b nx kx = + + 从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可 得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积, 有
( f (x)cos kxdx""cos kxdx + E(ancosnxcoskrdxn2 J-π元n=1+b.sin nx cos kxdx)n一元由三角函数的正交性,右边除了以k为系数的那一项积分[" cos’ kxdx = π一元外，其他各项积分都等于0，于是得出：[ f(x)cos kxdx = a,元 (k = 1,2,..).后页返回前页
前页 后页 返回 − π π f x kx x ( )cos d π π 0 π π 1 cos d ( cos cos d 2 n n a kx x a nx kx x − − = = + 由三角函数的正交性, 右边除了以 k a 为系数的那一 项积分 − = π 2 π cos d kx x π 外,其他各项积分都等于0,于是得出: π π ( )cos d π ( 1,2, ). k f x kx x a k − = = π π sin cos d ). n b nx kx x − +
即a, ==" (x)cos kxdx (k = 1,2,.).元一元同理，(9)式两边乘以sinkx,并逐项积分，可得b, -}" (x)sin kxdx (k =1,2,.).元后页返回前页
前页 后页 返回 即 − = = π π 1 ( )cos d ( 1,2, ). π k a f x kx x k 同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得 π π 1 ( )sin d ( 1,2, ). π k b f x kx x k − = =
由此可知,若f是以2元为周期且在[一元,元]上可积的函数,则可按公式(10)计算出a,和bn，它们称为函数f (关于三角函数系(5))的傅里叶系数,以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为f(关于三角函数系）的傅里叶级数，记作f(x) ~ +Z(a, cos nx + b, sin nx).(12)2n=1这里记号“～”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数，由定理15.2知道：若(9)式右边的三角级数在整返回前页后页
前页 后页 返回 由此可知, 若f 是以 2π 为周期且在 [ , ] − 上可积的 n a n 函数, 则可按公式(10)计算出 和 b , 它们称为函数 f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里 叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数 系) 的傅里叶级数, 记作 0 1 ( ) ( cos sin ). (12) 2 n n n a f x a nx b nx = + + 这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级 数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整
个数轴上一致收敛于和函数f，则此三角级数就是f的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“～"可换为等号.然而,若从以2元为周期且在[一元,元]上可积的函数f出发，按公式(10)求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数(12)，这时还需讨论此级数是否收敛如果收敛，是否收敛于f本身.这就是下一段所要叙述的内容后页返回前页
前页 后页 返回 个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是 f 的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“~”可换为 函数 f 出发, 按公式(10)求出其傅里叶系数并得到 傅里叶级数(12) , 这时还需讨论此级数是否收敛. 如果收敛, 是否收敛于 f 本身. 这就是下一段所要 叙述的内容. 等号. 然而, 若从以 2π 为周期且在 [−π, π] 上可积的