S2 函数的幂级数展开由泰勒公式知道，可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和，如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数，就为函数的研究提供了一种新的方法。一、泰勒级数二、初等函数的幂级数展开式前页后页返回
前页 后页 返回 §2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法. 返回 二、初等函数的幂级数展开式 一、泰勒级数
一、泰勒级数在第六章$3的泰勒定理中曾指出，若函数f在点xo的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则(x) = (x)+ (x)(x-x)+ ((x-x) ..2!f(" (x)(1)(x-x,)" + R,(x),十n!这里为R,(x)拉格朗日型余项f(n+l ()(2)R,(x)X(n +1)!后页返回前页
前页 后页 返回 一、泰勒级数 在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则 = + − + − + 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x f x x x x x 这里为 ( ) R x n 拉格朗日型余项 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) , (2) ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + + − + ( ) 0 0 ( )( ) ( ), (1) ! n n n f x x x R x n
其中在x与x之间,称(1)式为f在点x,的泰勒公式由于余项R,(x)是关于(x-x)"的高阶无穷小,因此在点 x附近f 可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论再进一步，设函数f在x=x.处存在任意阶导数，就可以由函数f得到一个幂级数f(x)+ F(x,)(x - x)+ I"(cx)2!f("(x)(3)x-x)"+..十n!返回前页后页
前页 后页 返回 ( ) R x n 0 ( )n 由于余项 是关于 x x − 的高阶无穷小, 因此 在点 0 x 附近 f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 这是泰勒公式带来的重要结论. 再进一步, 设函数 f 在 0 x x = 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x x x x x + − + − + ( ) 0 0 ( )( ) , (3) ! n n f x x x n + − + 其中 在x与x0之间, 称(1)式为 f 在点 0 x 的泰勒公式
通常称(3)式为f在 x=x。处的泰勒级数.对于级数(3)是否能在点x,附近确切地表达f，或者说级数(3)在点x附近的和函数是否就是f本身，这就是本节所要着重讨论的问题.请先看一个例子例1由于函数1=↓e7, x# 0,f(x)=0,x=0在x=0处的任意阶导数都等于0（见第六章$4第二段末尾），即后页返回前页
前页 后页 返回 通常称 (3) 式为 f 在 0 x x = 处的泰勒级数. 对于级数 (3)是否能在点 0 x 附近确切地表达 f , 或者说级数(3) 0 在点 x 附近的和函数是否就是 f 本身, 这就是本节 所要着重讨论的问题. 请先看一个例子. 例1 由于函数 2 1 e , 0, ( ) 0, 0 x x f x x − = = 在 x = 0 处的任意阶导数都等于0 (见第六章§4 第 二段末尾), 即
f(n)(0) = 0, n =1,2,...因此f在x=0的泰勒级数为000+0.x+=xXT2!n!显然它在(-80, +)上收敛,且其和函数S(x)=0. 由此看到,对一切x ±0都有f(x)≠ S(x).上例说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不都能收敛于该函数本身，哪怕在很小的一个邻域内。那么怎样的函数，其泰勒级数才能收敛于它本身呢？前页后页返回
前页 后页 返回 ( )(0) 0 , 1,2, , n f n = = 因此 f 在 x = 0 的泰勒级数为 0 0 2 0 0 . 2! ! n x x x n + + + + + 显然它在 ( , ) − + 上收敛, 且其和函数 S x( ) 0 = . 由 此看到, 对一切 x 0 都有 f x S x ( ) ( ) . 上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身, 哪怕在很小的一个邻域内. 那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢?